Si haces un bucle alrededor del punto de una rama, las ramas alrededor del punto se permueven. El grupo Galois es el grupo generado por esas permutaciones.
La extensión es Galois cuando el grupo Galois actúa de manera transitoria y sin puntos fijos, lo que significa que la cubierta está conectada (lo que sucede si y sólo si su polinomio es irreductible), y que si hay algún bucle que devuelve un punto a su posición original en su rama original, entonces el bucle no hace nada ni en todas las demás ramas: todas las ramas tienen que comportarse igual, y basta con mirar una sola de ellas para deducir lo que sucede en todas las demás.
Si una raíz $y$ está fijada por un elemento del grupo Galois, mientras que alguna otra raíz $z$ no lo es, significa que $z$ no está en el subcampo generado por $y$ y que $k \subset k(y)$ no es Galois.
Tomando tu ejemplo, los puntos de la rama están en $x=0$ donde $f(0,y) = y^4$ donde las cuatro ramas están permutables cíclicamente, y en $x=4$ donde $f(4,y) = (y^2+2)^2$ donde cada par de ramas se cambia. Así, el grupo Galois es generado por un $4$ -ciclo $ \sigma $ y una doble transposición $ \tau $ .
Entonces, hay dos posibilidades para nuestro grupo. O bien $ \tau = \sigma ^2$ en cuyo caso la cubierta y la extensión son Galois, o no lo son, en cuyo caso el grupo Galois es el grupo diedro de orden $8$ y la extensión no es Galois.
Con $y^4+xy^2+x$ estamos en el segundo caso: Algebraicamente, tenemos $ \mathbb C(x) = k \subset k(y^2) \subset k(y)$ donde $ \operatorname {Gal}_k(k(y^2))$ es generado por $ \rho : y^2 \mapsto -x-y^2$ ; $Gal_{k(y^2)}(k(y))$ es generado por $ \theta : y \mapsto -y$ . Desde $-x-y^2$ no es un cuadrado en $k(y)$ el cierre de Galois se obtiene al adjuntar $z$ de tal manera que $z^2 = -x-y^2$ para que $ \rho $ puede extenderse a $k(y,z)$ como $ \sigma : (y,z) \mapsto (z,- y)$ y $ \tau : (y,z) \mapsto (z,y)$ .
Ahora podemos observar que, de hecho, el grupo generado por $ \sigma $ y $ \tau $ tiene orden $8$ mientras que $y$ sólo puede tomar el $4$ valores $y,z,-y,-z$ y que para presenciar el grupo completamente, es necesario observar su acción en dos raíces (dos ramas) simultáneamente en lugar de una sola.
Cuando miras la cubierta de $L \otimes_K L$ esto es exactamente lo que se ve: el comportamiento de los pares de raíces/pares de ramas. Si $L$ era Galois, cada rama se movería de la misma manera, así que habría $d$ componentes, cada uno de ellos isomórfico a la cubierta original. Aquí en cambio, obtenemos solo dos componentes, que son ambas cubiertas de Galois mostrando el grupo de $f$ (porque por suerte el grupo no está $S_4$ y no necesitamos mirar $3$ se ramifica simultáneamente)
