¿Puede todo poset estar ordenado topológicamente?

Question

Una ordenación parcial $\preceq'$ en $S$ se dice que es compatible con otro ordenamiento parcial $\preceq$ si para todo $a,b,\in S$ ,

$$ a \preceq b \Rightarrow a \preceq' b$$

Dado un poset $(S, \preceq)$ una ordenación topológica en $S$ es una orden total $\preceq'$ que es compatible con $\preceq$ . Existe una sencilla prueba constructiva de que todo poset finito puede ser ordenado topológicamente. ¿Es lo mismo para los conjuntos infinitos? ¿Puede todo poset ser ordenado topológicamente?

Answer 1

Esta es la Teorema de extensión de Szpilrajn es un resultado que se desprende del axioma de elección. De hecho, se deduce pero no implica el más débil teorema de compacidad para la lógica de primer orden o su equivalente Teorema del ideal primo booleano . Su demostración a partir del resultado para órdenes parciales finitos y el teorema de compacidad o el equivalente lema del ultrafiltro es una aplicación directa de cualquiera de los dos.

Answer 2

En efecto, la elección es necesaria; por un lado, incluso la afirmación "Todo conjunto puede ser ordenado linealmente" no es demostrable sólo en ZF. Véase https://mathoverflow.net/questions/37272/are-all-sets-totally-ordered .