Ejemplo: Categoría accesible sin colímetros

Question

Estoy buscando ejemplos intuitivos de la(s) forma(s) en que los colímites pueden no existir en la categoría de modelos (valorados por el conjunto) para un esbozo de límite/colímite.

Puntos extra si el croquis y/o el diagrama colímite son finitos.

Answer 1

• La categoría Hil de los espacios de Hilbert, considerada como una subcategoría completa de Ban es $\aleph_1$ -accesible pero no presentable localmente, de hecho es autodual.

• La categoría Lin de órdenes lineales y mapas estrictamente crecientes es finitamente accesible.

• La categoría de Conjuntos y funciones uno a uno es finitamente accesible y no es localmente presentable.

• La categoría Fld de los campos es accesible pero no presentable localmente.

Todos estos ejemplos y algunos otros se pueden encontrar en Categorías localmente presentables y accesibles , 2.3.

Answer 2

Esta es una forma general de obtener una categoría accesible que probablemente no tendrá muchos colímetros: deja que $C$ sea una categoría localmente presentable, y entonces dejemos que $C^{mono}$ sea la categoría con los mismos objetos que $C$ sino sólo los monomorfismos de $C$ para los monomorfismos. Entonces $C^{mono}$ es accesible. Pero $C^{mono}$ normalmente no tendrá productos, por ejemplo, es poco probable que los mapas de proyección de un producto sean monos.

En un sentido similar pero diferente, empezar con una categoría localmente presentable, y pasar a una subcategoría de objetos definida por alguna propiedad de elevación. Por ejemplo, la categoría de grupos abelianos inyectivos. Para un ejemplo finito, ¿qué tal la categoría de $p$ -grupos abelianos divisibles para un primo fijo $p$ -- para esbozar esto de una manera finita, comience con el esbozo habitual $S$ para los grupos abelianos, y que $Z$ sea el objeto del boceto tal que $Hom(Z,-) = \mathbb Z$ . Entonces hay un mapa $p: Z \to Z$ dado por la multiplicación por $p$ . Poner la condición de colimitación diciendo que para $F: S \to Set$ en nuestra categoría, el mapa $p: F(Z) \to F(Z)$ es un epimorfismo, es decir, el diagrama

$\require{AMScd} \begin{CD} Z @>1>> Z\\ @V1VV @VpVV\\ Z @>p>> Z \end{CD}$

está en la parte colimense del boceto.

Otro punto es que una categoría accesible tiene todos los colímites si tiene todos los límites, si es localmente presentable, si es la categoría de modelos para un límite boceto. Por lo tanto, cualquier categoría esbozada por un croquis (limit,colimit) que realmente utilice la parte colimit es poco probable que tenga todos los colimits (si tiene todos los colimits, entonces hay una forma alternativa de esbozarla sin utilizar la parte colimit del croquis).

Otra clase de ejemplos es ésta: toda categoría pequeña con idempotentes divididos es accesible. Una categoría pequeña nunca es completa / cocompleta, excepto quizás si es un poset.

Otra clase de ejemplos sería la categoría de modelos e incrustaciones elementales para cualquier teoría de primer orden $T$ -- esta es siempre una categoría accesible, pero nunca (co)completa excepto en casos triviales.