Resolver la ecuación de un número complejo

Question

Me he encontrado con una cuestión que no sé cómo resolver:

$z= a+bi$ donde a y b son números reales, resolver la ecuación $\bar{z}^5 = z$ ( $\bar{z}$ es el conjugado de $z$ )

• La pregunta también da dos pistas: $cos(\pi/3)=\frac{1}{2}$ y $sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo utilizar estas dos pistas.

He conseguido encontrar la solución de forma inversa: Encontré que si $z =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $ satisfaría la ecuación de esta pregunta.

Pero no he podido encontrar esta solución a partir de la ecuación $\bar{z}^5 = z$

Answer 1

Si se multiplican ambos lados por $\overline z$ se obtiene $$\overline z^6=|z|^2$$ El lado derecho es real y no negativo, por lo que el lado izquierdo también debe serlo. La magnitud de la izquierda es $|z|^6$ por lo que sabemos que $|z|=0$ o $1$ . $\overline z$ y por lo tanto $z$ debe ser $0$ o una de las sextas raíces de $1$ .