¿Contradice la teoría orbital de los electrones el principio de incertidumbre de Heisenberg?

Question

El modelo mecánico-cuántico de los átomos se derivó del principio de incertidumbre de Heisenberg, que establece que la posición y el momento de una partícula no pueden determinarse con un grado de precisión arbitrario. Para entender la distribución de los electrones en un átomo, el momento de un electrón en el principio de incertidumbre se convierte en su energía. El principio se convierte en "no podemos determinar tanto la posición de un electrón como su energía con un grado arbitrario de precisión".

La idea de que los electrones existen en orbitales proviene de la resolución de la ecuación de Schrödinger, que da como resultado el número cuántico de principio, el número cuántico de momento angular, el número cuántico magnético y el número cuántico de espín. Para cada átomo, una combinación de los tres primeros parámetros de Schrödinger especifica un único orbital electrónico. Cabe destacar que la ecuación de Schrödinger simplifica el principio de incertidumbre hasta el punto de que sólo tenemos incertidumbre sobre la posición de un electrón, pero ya no sobre su energía.

Cada orbital electrónico representa un mapa de distribución de probabilidad de los electrones que caen bajo él. En teoría, podemos encontrar un electrón que caiga bajo un orbital determinado en cualquier posición dentro del mapa de distribución de probabilidad que especifica. Pero el problema es que cada orbital tiene un valor de energía fijo. No importa en qué lugar del orbital encontremos el electrón, su energía no varía. En otras palabras, cuando observamos un átomo y queremos determinar la posición y la energía de uno de sus electrones, lo asignamos a un orbital. La contradicción es que en cuanto se asigna un orbital al electrón, fijamos su energía, y la única variable indeterminada es su posición. Entonces, ¿la teoría de los orbitales de los electrones contradice el principio de incertidumbre, donde hay dos variables indeterminadas?

Una versión muy concisa de mi pregunta: el principio de incertidumbre de Heisenberg implica que no podemos determinar simultáneamente la posición y la energía de un electrón. Pero si dividimos el espacio exterior de un átomo en orbitales de electrones, como hace la teoría de los orbitales de electrones, y asignamos cada electrón a un orbital, ¡acabamos pudiendo determinar la energía de cada electrón!

Answer 1

Un orbital es un estado propio de energía (y momento angular). Cuando se expresa en base a la posición, adopta una forma funcional relacionada con la densidad de probabilidad. Esto significa que si se especifica (mide) la energía, la posición ya no está bien definida. He aquí un gráfico de la distribución radial de algunos orbitales calculada por la ecuación de Schrödinger.

Como puede ver, especificar una posición no conduce a un orbital específico porque los diferentes orbitales se superponen espacialmente.

Así que el principio de incertidumbre sigue siendo válido.

Answer 2

Esta pregunta sugiere una respuesta que puede ayudar a deshacerse de parte del folclore ingenuo sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg (HUP).

En particular, la pregunta

Entonces, ¿la teoría de los orbitales de los electrones contradice el principio de incertidumbre, donde hay dos variables indeterminadas?

HUP no dice que siempre hay dos variables indeterminadas (las incertidumbres de los dos operadores no conmutantes).

Recordemos lo que en realidad dice la HUP.

Si tenemos dos operadores $\hat A$ y $\hat B$ podemos definir una medida de la dispersión media de sus valores en un estado $\newcommand{\Ket}[1]{\left|#1\right>} \newcommand{\Bra}[1]{\left<#1\right|}$ $ \Ket{P}$ en torno al valor medio $\langle A\rangle $ y $\langle B\rangle $ como $$ \sigma_A^2 = \Bra{P} \left( \hat A - \langle A\rangle \right)^2 \Ket{P} \\ \sigma_B^2 = \Bra{P} \left( \hat B - \langle B\rangle \right)^2 \Ket{P}. $$ HUP es la desigualdad (no estricta) $$ \sigma_A \sigma_B \ge \left| \frac{1}{2i}\Bra{P} \left[ \hat A,\hat B \right] \Ket{P} \right| $$ donde $\left[ \hat A,\hat B \right] $ es el conmutador $\hat A \hat B - \hat B \hat A$ .

Cuando $\hat A$ y $\hat B$ son la componente de la posición y el momento a lo largo de una dirección determinada, el conmutador es $i\hbar$ y el lado derecho de la desigualdad es igual a $\frac{\hbar}{2}$ independientemente del estado $\Ket{P}$ .

Sin embargo, cuando $\hat A$ y $\hat B$ son la componente de la posición a lo largo de una dirección dada, y el Hamiltoniano, el valor del lado derecho depende del estado. Si $\Ket{P}$ es un estado propio de energía, tanto $\sigma_H$ y el lado derecho son cero. Por lo tanto, está claro que en tal caso una cantidad tiene un valor bien definido sin contradicción con HUP.