$\int \log(x+e^x) \mathbb{d}x$ o Cuando todos los CAS fallan

Question

Ningún sistema de álgebra computacional -- al menos que yo sepa -- logró calcular la integral $\int \log(x+e^x)\space \mathbb{d}x$ en términos de cualquier función conocida, o incluso sólo demostrar que no es elemental.

Aunque es bastante obvio que ningún truco clásico ayudaría a obtener la antiderivada, es mucho menos obvio -- para mí al menos --, en cuanto a por qué es este caso tan especial que los CAS modernos o bien se congelan (Wolfram), honestamente reportan algo como "Implementación incompleta (residuos constantes)" (Axiom), o una respuesta extraña que es simplemente incorrecta si tratas de diferenciarla (Mathcad).

De hecho, existe una gran familia de funciones que colapsan los CAS modernos, en forma de $\int f(x+g(x)) \mathbb{d}x$ , por ejemplo. $\sqrt{x+\cos(x)}$ , $\sqrt[3]{x+\sin(x)}$ . Mathcad incluso da una respuesta errónea para las integrales de los dos últimos radicales.

Así que mis dos preguntas son:

• ¿Alguno de esos inetegrales es expresable en términos de alguna función conocida?
• ¿Por qué los modernos sistemas de álgebra computacional no demuestran que estos no son elementales/...vale, liouvillanos?

Si alguien que lea esto sabe por casualidad cómo funciona el algoritmo de Risch, me encantaría que me dijera cómo se supone que el algoritmo de Risch aborda este problema. Me refiero a demostrar la no elementalidad, cuál sería la torre de extensión de campo adecuada para ello, qué se desprendería de ella, y cómo demostraría el algoritmo que esta integral no es elemental/liouvilliana/... -- ¿o lo es?

Answer 1

Me he equivocado. Sólo los ejemplos algebraicos como $\sqrt{x+e^x}$ hacen que Axioma falle. En cuanto a la [ $\log(x+e^x)$ ] caso, incluso el risch_integrate de sympy demuestra la no elementalidad con éxito. Sin embargo, Wolfram todavía se confunde con este caso.

El axioma demuestra con éxito la no elementalidad de $\int\log(x+e^x)\mathbb{d}x$ con el comando básico de integración.

Sympy falla usando el general integrate pero tiene éxito si se le pide explícitamente que utilice la función risch_integrate . Justo durante el proceso de reducción de Hermite, para ser precisos. Muchas gracias a Aaron Meurer (el autor de risch_integrate ), que explicó lo que ocurría bajo el capó mientras trazaba cómo se procesaba el ejemplo.

Con el ejemplo algebraico, $\sqrt{x+e^x}$ , Axioma admite honestamente que "la implementación es incompleta: residuos constantes". Bueno... ese caso algebraico es el más difícil, es un hecho conocido de todos modos.

Desgraciadamente, mis conocimientos matemáticos no son ni de lejos los necesarios para intentar trazar lo que ha ocurrido con el ejemplo algebraico.