¿Cómo se demuestra que $e^{-1/x^2}$ es diferenciable en $0$?

Question

Defina la función valorada real $f(x)$ por $f(x) = e^{-1/x^2}$ si $x \ne 0$ y $0$ si $x = 0$.

• ¿Cómo se demuestra que $e^{-1/x^2}$ es diferenciable en $0$?
• ¿Cómo demuestras que esta función es infinitamente diferenciable?

Answer 1

Desea calcular <span class="math-container">$$\lim{h \to 0}\frac{\exp(-1/h^2)}{h}$$</span> Mostrar que esto es equivalente a la informática <span class="math-container">$$ \lim{k \to +\infty}k{\exp(-k^2)} \qquad \text{y} \qquad \lim_{k \to -\infty}k{\exp(-k^2)}. $$</span>

y demostrar que son iguales. Entonces las cosas se ponen fáciles.

Para su segunda pregunta, vea esto.

Answer 2

Indirecta:

Se puede demostrar por inducción que existen polinomios <span class="math-container">$P_n, Q_n$</span> tales que

<span class="math-container">$$\frac{d^n}{d x^n} e^{-1/x^2} = \frac{P_n(x)}{Q_n(x)} e^{-\frac{1}{x^2}}$$</span>

También puedes demostrar por el cambio de variables <span class="math-container">$t=\frac{1}{x}$</span> que, por cada <span class="math-container">$m$</span> tienes <span class="math-container">$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^m}=0$$</span>

A partir de aquí se pueden deducir ambas afirmaciones.