Digamos que estamos viendo $d_n: A^{\otimes n} \rightarrow A^{\otimes n -1}$ en el complejo de cadenas de homología de Hochschild definido por $d_n(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n+1}) = \sum_{i=0}^n (-1)^i a_0 \otimes \cdots \otimes a_ia_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_{n+1}$ . ¿Existe un complejo de cadena definido de forma similar en el que el diferencial hace algo que combina $3$ de los componentes del tensor, por ejemplo? (Estoy interesado en construcciones que funcionen para combinar cualquier $n$ ). Así que el diferencial produciría alguna combinación lineal de elementos que se parecen más o menos a esto $a_0 \otimes a_ia_{i+1}a_{i+2} \otimes \cdots \otimes a_{n+1}$ . Obviamente, esto también requeriría un cambio en los grupos de la cadena.
Respuesta
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Sí, hay variantes de esto como se menciona en los comentarios. Si $A$ es en cambio un $A_\infty$ -entonces el límite de Hochschild en $\hom(BA,A)$ adopta una forma más compleja.
En resumen, un $A_\infty$ -estructura de álgebra en $A$ es el dato de un grado $-1$ coderivación $BA\to BA$ que de hecho corresponde a un mapa $d : BA\to sA$ . Entonces el límite de Hochschild se obtiene tomando el paréntesis de coderivaciones con $d$ .
Esto significa, por ejemplo, que tendrá elementos de la forma
$$ f(x_1,m_3(x_2,x_3,x_4),x_5)$$
en el diferencial donde $m_3$ es el componente de $d$ correspondiente al mapa $(sA)^{\otimes 3}\to sA$ .
