Considere las siguientes identidades
\begin{align*} \sum_{k=0}^n\binom nk x^k(1-x)^{n-k}&=1\tag1\\ \sum_{k=0}^n\frac kn\binom nkx^k(1-x)^{n-k}&=x\tag2\\ \sum_{k=0}^n\frac kn\left(1-\frac nk\right)x^k(1-x)^{n-k}&=x(1-x)\tag3 \end{align*}
Es bastante sencillo demostrarlo utilizando primero el Teorema del Binomio para $(1)$ y luego deducir $(2)$ y $(3)$ . Sin embargo, podemos obtener la siguiente cadena de igualdades
$$\small\sum_{k=0}^n\left(x-\frac kn\right)^2\binom nkx^k(1-x)^{n-k}=\frac1n[x(1-x)]=\sum_{k=0}^n\left(x(1-x)-\frac kn\left(1-\frac kn\right)\right)\binom nkx^k(1-x)^{n-k}$$
En particular, por lo tanto, podemos deducir que
$$\small\sum_{k=0}^n\left(x-\frac kn\right)^2\binom nkx^k(1-x)^{n-k}=\sum_{k=0}^n\left(x(1-x)-\frac kn\left(1-\frac kn\right)\right)\binom nkx^k(1-x)^{n-k}\tag{$ \N - La estrella $}$$
¡Aquí es donde comienza la diversión! ¿Es posible obtener de alguna manera $(\star)$ , sin ¿confiando en nuestra cadena intermedia de igualdades? Jugando con las dos sumas no veo una forma directa de atacar el problema y sinceramente no sé qué más hacer.
¿Es posible mostrar $(\star)$ sin ¿evaluando realmente ambas sumas?
Gracias de antemano.
