Densidad de la medida invariante de la ecuación diferencial estocástica

Question

Tengo una pregunta: ¿es posible que una SDE tenga una densidad "bonita", pero que su medida invariante no tenga una densidad "bonita"?

Más concretamente, consideremos una ecuación diferencial estocástica $$ dX_t=b(X_t) dt + \sigma(X_t) dW_t, $$ donde $W$ es un movimiento browniano estándar y $b,\sigma$ son funciones continuas y suaves (no hay más suposiciones sobre la elipticidad uniforme de $\sigma$ o que $b$ es globalmente Lipschitz o que $b$ está acotado). Supongamos que sabemos que esta ecuación tiene una única solución fuerte y que el núcleo de transición tiene una densidad suave $p_t(x,y)$ .

Supongamos que sabemos que esta ecuación tiene una medida invariante única $\pi$ . Pregunta: ¿Es cierto (sin más suposiciones) que $\pi$ tiene un suave densidad $p$ ?

De hecho, es inmediato ver que para cualquier conjunto medible $A$ uno tiene $$ \pi(A)=\int_A\Bigl(\int_{\mathbb{R}^d} p_t(x,y) \pi(dx)\Bigr)dy, $$ lo que implica que $\pi$ tiene una densidad $p$ tal que $$ p(y)=\int_{\mathbb{R}^d} p_t(x,y) p(x)dx. $$ Sin embargo, no me queda claro por qué $p$ es finito en todas partes o por qué es diferenciable en todas partes. ¿Se puede construir un contraejemplo aquí?

Answer 1

EDITAR : Esta respuesta es incorrecta. $p_t$ no es continua en $(0,0)$ y, por tanto, no es suave. Más información $p_t(0, \cdot)$ no es una densidad sino $ p_t\left(y, dx\right) \to \delta_0(dx) $ como $y \to 0$ .

Lo que hay a continuación muestra, en cambio, que $X_t$ tener una densidad suave para todo el tiempo $t \geq 0$ no implica que $X$ tiene una densidad. Así como en lo que sigue $\nu P_t$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue sólo si $\nu\left(\left\{0\right\}\right) = 0$ .

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Un suave transición no implica que la medida invariante tenga una densidad aunque los coeficientes sean globalmente Lipschitz. Un contraejemplo es Movimiento browniano geométrico con deriva negativa. Sea $\mu, \sigma > 0$ y $X$ satisfacer $$ dX_t = -\mu X_t dt + \sigma X_t dW_t$$ La densidad de transición de $X$ es $$ p_t\left(x,y\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{y\sigma \sqrt{t}}\exp{\left(-\frac{\left(\log{\left(\frac{y}{x}\right) + \left(\mu + \frac{1}{2}\sigma^2\right)t}\right)^2}{2\sigma^2 t}\right)}$$ que es suave como $\frac{\partial^n}{\partial y^n} p_t\left(x,y\right)$ es una combinación lineal de términos de la forma $x^{-\alpha}\log^\beta(y)\exp\left(-\log^2(y)\right)$ . Sin embargo, la densidad invariante de $X$ es una masa dirac en cero. Más aún para cualquier distribución inicial, $\nu$ , dejemos que $\nu P_t$ denotan la distribución de $X_t$ en el momento $t$ , $$\nu P_t(A) = \int_A \left(\int_{\mathbb{R}} p_t(x,y)\nu(dx)\right)dy,$$ $\nu P_t$ converge a $\delta_0$ y exponencialmente rápido en la métrica de 1-Wasserstein, es decir $\mathcal{W}_1\left(\nu P_t, \delta_0 \right) \leq e^{-\mu t}\mathcal{W}_1\left(\nu, \delta_0 \right)$ .