Teorema de la descomposición y de las explosiones

Question

Otra pregunta del tipo "¿Cómo aplicar el teorema de la descomposición? El ejemplo que estoy considerando debería tener una respuesta sencilla, pero me estoy confundiendo y agradecería que alguien me indicara dónde me estoy equivocando. El punto confuso se puede exponer brevemente, al final de la observación 3. Pero voy a dar una explicación de lo que entiendo, esperando que esto sea útil para otras personas y aclare lo que me falta.

Dejemos que $Y$ sea un triplete cuasi-proyectivo con un único punto singular $0 \in Y$ y supongamos que el reventón en $0$ es una resolución $p: X \rightarrow Y$ y el divisor excepcional $p^{-1}(0)=S$ es una superficie proyectiva lisa.El objetivo es entender los sumandos de $Rp_{\ast}IC_{X} \simeq \bigoplus_{i} {}^{\mathfrak{p}}\mathcal{H}^{i}(Rp_{\ast}IC_{X})[-i]$ donde la descomposición es en gavillas de cohomología perversa dadas por el teorema de descomposición.

Observaciones:

1. Por cambio de base, el hecho de que $p$ es un isomorfismo sobre el conjunto abierto $U=Y\setminus 0$ implica que $Rp_{\ast} IC_{X}$ restringido a $U$ es sólo $IC_{U}$ Así que ${}^{\mathfrak{p}}\mathcal{H}^{0}(Rp_{\ast}IC_{X})\simeq IC_{Y} \oplus E$ para algún rascacielos $E$ en $0$ . Además, las otras láminas de cohomología perversa ${}^{\mathfrak{p}}\mathcal{H}^{i}(Rp_{\ast}IC_{X})[-i]$ debe ser apoyado en $0$ y por lo tanto consisten en rascacielos desplazados. Por lo tanto, sólo tenemos que entender el tallo de $Rp_{\ast} IC_{X}$ en $0$ .

2. Por el cambio de base y el hecho de que $p^{-1}(0)=S$ una superficie proyectiva lisa, tenemos que el tallo de $Rp_{\ast} IC_{X}$ en $0$ es $H^{0}(S,\mathbb{Q})[3]\oplus H^{1}(S,\mathbb{Q})[2]\oplus H^{2}(S,\mathbb{Q})[1]\oplus H^{3}(S,\mathbb{Q})\oplus H^{4}(S,\mathbb{Q})[-1]$ . Desde $IC_{Y}$ se concentra en grados $-3,-2,-1$ con respecto a la estructura t estándar, $E \simeq H^{3}(S,\mathbb{Q})\otimes \mathbb{Q}_{0}$ y

${}^{\mathfrak{p}}\mathcal{H}^{1}(Rp_{\ast}IC_{X})[-1] \simeq H^{4}(S,\mathbb{Q})\otimes \mathbb{Q}_{0}[-1]$ .

Además, no hay gavillas de cohomología superior perversa, por razones de grado.

1. Por la dualidad de Verdier y la autodualidad de $Rp_{\ast}IC_{X}$ la única otra cohomología perversa en la descomposición es ${}^{\mathfrak{p}}\mathcal{H}^{-1}(Rp_{\ast}IC_{X})[1]$ que debe ser dual a

${}^{\mathfrak{p}}\mathcal{H}^{1}(Rp_{\ast}IC_{X})[-1] \simeq H^{4}(S,\mathbb{Q})\otimes \mathbb{Q}_{0}[-1]$ .

Yo pensaría que debería ser así $H^{0}(S,\mathbb{Q})\otimes \mathbb{Q}_{0}[1]$ pero entonces el grado en que $H^{0}(S)$ está fuera de lugar por $-2$ de lo que aparece en la observación 2. El único rascacielos en grado $-1$ es $H^{2}(S)$ pero eso no es doble para $H^{4}(S)$ en general.

Es de suponer que tengo un problema al aplicar la dualidad de Verdier, pero no veo dónde está el problema. Cualquier comentario será bienvenido.

Answer 1

En este ejemplo tenemos $p : X \to Y$ y podemos suponer, wlog, que $X$ es isomorfo al espacio total del haz normal a la superficie, y $p$ es la contracción de la sección cero.

Entonces, por la construcción de Deligne, $IC(Y) = \tau_{\le -1} j_* \mathbb{Q}[3]$ , donde $j : Y^0 \hookrightarrow Y$ es la inclusión del lugar liso (que es isomorfo a $X^0$ el complemento de la sección cero en $X$ ).

Para calcular esto, podemos utilizar la secuencia espectral de Leray-Hirsch

$E_2^{p,q} = H^p(S) \otimes H^q(\mathbb{C}^*) \Rightarrow H^{p+q}(X^0)$

esto converge en $E_3$ y obtenemos que las partes de grado 0, 1 y 2 de la cohomología de $X^0$ viene dada por el primitivo clases en $H^i(S)$ para $i = 0, 1, 2$ . Nótese que esto es todo en grados 0 y 1, pero en grado dos las clases primitivas forman un subespacio de codimensión uno $P_2 \subset H^2(S)$ .

La construcción de Deligne anterior, nos da que $IC(Y)_0 = H^0(S)[3] \oplus H^1(S)[2] \oplus P_2[1]$ .

(Esto es un hecho general: siempre que se toma un cono sobre una variedad proyectiva suave, el tallo del complejo de cohomología de intersección en 0 viene dado por las clases primitivas con respecto al haz amplio utilizado para incrustar la variedad. Esto se deduce exactamente por los mismos argumentos dados anteriormente).

Entonces el teorema de descomposición da

$p_* \mathbb{Q} = \mathbb{Q}_0[1] \oplus ( IC(Y) \oplus H^3(S) ) \oplus H^4(S)[-1]$ .

EDIT: corregidos los errores tipográficos señalados por Chris.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que tu intuición te está llevando por el mal camino. El dual de H^4 en el tallo realmente es H^2. Creo que el emparejamiento es simplemente tirar de sus clases a la explosión y cruzarlas allí. El núcleo de esto es el grado superior de la gavilla IC, y el único bit que queda es la cohomología perversa negativa. Aunque, esto es más que nada una especulación irresponsable basada en mi intuición...