EDICIÓN en vista de los comentarios de abajo por JimConant y PeterTaylor. Si todavía hay algún error, la culpa es mía.
Esta es una solución alternativa a la trigonométricas. Vamos a utilizar el método algebraico. Deje $z=x+iy$. Tenemos
$$\begin{eqnarray*}
0 &=&z^{3}+\overline{z} \\
0 &=&\left( x+iy\right) ^{3}+\left( x-iy\right) \\
&=&x^{3}+x-3xy^{2}+i\left( 3x^{2}y-y^{3}-y\right) \\
&\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
0=x(x^{2}+1-3y^{2}) \\
0=y(y^{2}+1-3x^{2}).
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}\etiqueta{1}$$
Una de las raíces es $$x_{1}=y_{1}=0.\tag{1a}$$ El resto de reales raíces satisfacer el sistema
$$\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=x^{2}+1-3y^{2} \\
0=y^{2}+1-3x^{2}
\end{array}
\right. &\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
0=x^{2}+1-3y^{2} \\
0=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}x^{2}+1-3x^{2}
\end{array}
\right. \\
&\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
0=x^{2}+1-3y^{2} \\
0=4-8x^{2}
\end{array}
\right. \\
&\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
0=1-2y^{2} \\
0=1-2x^{2}.
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
\etiqueta{2}$$
El último sistema significa que $$y=\pm x\tag{3}$$ y que
$$\begin{eqnarray*}
x &=&\pm\frac{1}{2}\sqrt{2}, \\
y &=&\pm\frac{1}{2}\sqrt{2}.
\end{eqnarray*}\etiqueta{3a}$$
La combinación de los resultados anteriores, se concluye que los siguientes cinco números complejos
$$
z_{1} =0,\etiqueta{4}$$
$$
z_{2} =\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2},\quad z_{3} =-\frac{1}{2}\sqrt{2}-i\frac{1}{2}\sqrt{2},
\etiqueta{5}$$
$$z_{4} =\frac{1}{2}\sqrt{2}-i\frac{1}{2}\sqrt{2},\quad z_{5} =-\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2},
\etiqueta{6}$$
son las soluciones de la ecuación dada $$z^{3}+\overline{z}=0.\tag{7}$$
