Solución única para la ecuación de calor no lineal

Question

Tengo el siguiente problema de valor inicial: $$ \dfrac{\partial}{\partial t} u(x,t) - \frac{1}{2} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t) = (u(x,t))^2$$ $$ u(x,0) = u_0(x)\in C^2(S^1)$$ y quieren demostrar que si $u,v \in C^2(S^1 \times [0, T])$ son dos soluciones, entonces $u = v$ .

Como pista decía que debía considerar $\eta(t)=\int_{0}^{2\pi}(u(x,t)-v(x,t))^2 dx$

y hemos demostrado antes que si $\dfrac{d}{dt}\eta(t) \le \eta(t)\phi(t)$ entonces $$\eta(t) \le \eta(0)e^{\int_{0}^{2\pi}\phi(s)ds}$$ No tengo mucha experiencia con ecuaciones diferenciales no lineales y no estoy seguro de cómo proceder. ¿Pueden ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Considere $w=u-v$ . Entonces $w$ satisface $w_t-1/2w_x=(u+v)w$ . Por lo tanto, tenemos $$ \partial_t w^2 =2ww_t=2w(w_x+(u+v)w)=(w^2)_x +2(u+v)w^2 . $$ Observe ahora que $$ \int_0^{2\pi} (w^2)_x dx=0 $$ para que, con su notación, $$ \eta'(t)=2\int_0^{2\pi}(u+v)w^2 dx \leq \phi(t) \eta(t), $$ donde $\phi(t)=2\sup_{x\in [0,2\pi )} |u+v|$ . Ahora aplica Gronwall.