Encuentra el límite de $\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,\pi/2)} \cos x \sin y$ y demostrar que su resultado es correcto.

Question

Encuentra el límite y demuestra que tu resultado es correcto.

$$\lim _{(x,y) \rightarrow (0,\pi/2)} \cos x \sin y$$

Mi juicio:

He calculado el límite por sustitución directa y he encontrado que es 1. pero tengo una dificultad para demostrarlo. Sé que debo partir de la desigualdad $$|\cos x \sin y -1|< \epsilon$$ y tratar de aislar las desigualdades $|x|$ & $|y-\pi/2|$ de la misma con el fin de utilizar esa $|x| < \delta$ & $|y-\pi/2| < \delta$ ...... ¿estoy en lo cierto? Si es así no sé cómo hacer esto ...... ¿podría alguien ayudarme por favor?

Answer 1

$| \cos x \sin y -1|= |\cos x \sin y-\cos x \sin( \pi /2)+\cos x \sin( \pi /2) - \sin( \pi/2)| $

$\le| \cos x| \cdot| \sin y - \sin (\pi/2)|+| \cos x-1|.$

¿Puede continuar?

Answer 2

$f(x):=$

$|\cos x \sin y -\cos x +\cos x -1| \le$

$|\cos x (\sin y -1)| + |\cos x -1| \le$

$ |\sin y-1| +|\cos x-1| .$

$d:= ((x^2+(y-π/2)^2)^{1/2}.$

Desde $\cos x$ , $\sin y$ son continuos:

Para $\epsilon/2$ hay un $\delta_1$ s.t.

$|x| \lt \delta_1$ implica

$|\cos x -1| \lt \epsilon/2.$

Para $\epsilon/2$ hay un $\delta_2$ s.t.

$|y-π/2| \lt \delta_2$ implica

$|\sin y -1| \lt \epsilon/2;$

Elija $\delta =\min (\delta_1, \delta_2)$ .

Entonces

$ (x^2+(y-π/2)^2)^{1/2} \lt \delta $

implica

$f(x) \lt |\sin y-1| +|\cos x -1| \lt \epsilon$ .