Sigo recibiendo la respuesta incorrecta para este problema.
Encuentre la transformada de Fourier de $f(x) = \frac{a}{\pi} \frac{1}{a^2 + x^2}$ utilizando el teorema del residuo.
Bueno, por definición:
$$\hat f(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{a}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-ikx}}{a^2 + x^2}\mathrm{d}x$$
Defino la función compleja:
$$g(z) \doteqdot \frac{e^{-ikz}}{a^2 + z^2} = \frac{e^{-ikz}}{(z-ai)(z+ai)}$$
Escojamos el polo simple en $z=ai$ el residuo es:
$$\text{Res}(g,ai) = \lim_{z \to ai}\frac{e^{-ikz}}{z+ai} = \frac{e^{ak}}{2ai}$$
Ahora, para un contorno, elija un segmento de línea en el eje real de -R a +R y un arco de círculo de radio R centrado en el origen que conecta los dos extremos del segmento. Este contorno incluye el polo ai. Cuando R tiende a infinito, la integral sobre el arco desaparece (lema de Jordan) y la integral sobre el segmento se convierte en una integral sobre la recta real. Entonces, por el teorema del residuo:
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-ikx}}{a^2 + x^2}\mathrm{d}x = 2\pi i\frac{e^{ak}}{2ai} = \pi\frac{e^{ak}}{a}$$
La transformada de Fourier es entonces: $$\hat f(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{a}{\pi} \pi\frac{e^{ak}}{a}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ak}$$
Lo cual es incorrecto; la respuesta correcta es $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-a|k|}$ pero no veo cómo puede aparecer el valor absoluto.
