La pregunta es exactamente la que puse en el título. Pero, de todas formas, la reafirmaré a continuación:
Para impar prime $p$ , demuestran que existen residuos no nulos $x$ y $y$ mod $p$ tal que $ax^2+by^2 \equiv 0$ mod $p$ si $(\frac{-ab}{p}) = 1$ .
Y aquí estoy usando $(\frac{-ab}{p})$ para significar un símbolo de Legendre, para que quede claro. Este es un problema de tarea en el que estoy atascado, y espero que alguien pueda darme una pista para ayudarme. Llevo mucho tiempo atascado en él y he avanzado muy poco.
Tengo la dirección hacia adelante, donde mostré que usando los valores de $x$ y $y$ que elegí, $ax^2 + by^2 \equiv 0$ mod $p$ $\implies (\frac{-ab}{p}) = 1$ . Sin embargo, no he llegado a ninguna parte con la otra dirección de la implicación, y me hace pensar que puedo haber elegido valores incorrectos para $x$ y $y$ o que no debía elegir valores explícitos para estos en primer lugar.
El libro de texto que estamos utilizando tiene algunas reglas relativas a los símbolos de Legendre inmediatamente anteriores a este problema, como $(\frac{ab}{p}) = (\frac{a}{p})(\frac{b}{p})$ si $p \nmid ab$ y el Criterio de Euler que dice $(\frac{a}{p}) \equiv a^{\frac{p-1}{2}}$ mod $p$ . Creo que se supone que debo hacer uso de estos, pero no estoy seguro de cómo. Cualquier sugerencia será muy apreciada.
