Demostrar que un sistema de ecuaciones diofánticas tendrá soluciones irracionales además de enteras

Question

Resolver $\begin{cases} 3xy-2y^2=-2\\ 9x^2+4y^2=10 \end{cases}$

Reordenando la 2ª ecuación a $x^2=\dfrac{10-4y^2}{9} \Longrightarrow 0\leq x^2 \leq 1$ si $x^2=1$ que $y=\pm\dfrac{1}{2}$ y $x=\pm1$ pero cómo demuestro que existen dos soluciones más a esta ecuación utilizando la teoría de los números frente al álgebra universitaria. ¿Tiene que ver con la relación que $0\leq y^2 \leq 10$ ? ¿Dice esto que las soluciones son irracionales?

Answer 1

Si se suma cinco veces la primera ecuación más la segunda, se obtiene $9 x^2 + 15 x y - 6 y^2 = 0,$ o $$ 3 (3x - y)(x+ 2 y) = 0. $$ Así que las opciones están en la línea $$ y = 3x $$ o la línea $$ y = \frac{-x}{2}. $$

A partir de la ecuación de la elipse $9 x^2 + 4 y^2 = 10,$ obtenemos $45 x^2 = 10$ y $9 x^2 = 2$ y $(3x)^2 = 2,$ o $10 x^2 = 10$ y $x^2 = 1.$

Answer 2

El número de soluciones no tiene nada que ver con que algunos de los puntos de intersección sean racionales, lo cual es una feliz coincidencia. La forma de abordar este problema es el simple álgebra. Suma el doble de la primera ecuación a la segunda, y divide entre 3 para obtener

$$2x y + 3x^2 = 2.$$

Entonces, manipulando la segunda ecuación se obtiene

$$9x^4 + 4x^2y^2 = 10x^2$$ $$9x^4 + (2-3x^2)^2 = 10x^2$$

Se trata de una ecuación cuadrática en $x^2$ que tiene soluciones $x^2 = 1, \frac{\sqrt{2}}{3}.$

Cuando $x^2 = 1$ de la segunda ecuación tenemos $y^2 = \frac{1}{4}$ La comprobación de estos en la primera ecuación revela que dos de las opciones de signo son espurias, dejando $(-1, \frac{1}{2})$ y $(1, -\frac{1}{2})$ como verdaderas soluciones.

Del mismo modo, cuando $x^2 = \frac{\sqrt{2}}{3}$ se obtienen dos soluciones $(-\frac{\sqrt{2}}{3}, -\sqrt{2})$ y $(\frac{\sqrt{2}}{3}, \sqrt{2})$ .

Como sus dos polinomios no tienen un divisor polinómico común, por el Teorema de Bezout, el sistema de ecuaciones polinómicas tiene como mucho cuatro soluciones, y las hemos encontrado todas. (Geométricamente, tus ecuaciones describen una hipérbola y una elipse no degeneradas, que pueden intersecarse a lo sumo en cuatro puntos).