Clase de Chern de un haz vectorial y el haz de espacio proyectivo asociado

Question

Tengo una pregunta muy básica sobre las clases de Chern. Sea $X$ sea una variedad proyectiva suave y $\mathcal{E}$ un haz vectorial en él. Sea $\pi:\mathbb{P}(\mathcal{E})\to X$ denota el haz de espacios proyectivos sobre $X$ asociado a $\mathcal{E}$ .

¿Cómo son las clases de Chern $c_i$ del haz vectorial $\mathcal{E}$ en $X$ relacionados con las clases de Chern $c_i'$ de la variedad proyectiva $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ es decir, las clases de Chern del haz tangente de $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ ? Mi ingenua esperanza sería que simplemente tuviéramos $c_i'=\pi^* c_i$ . ¿Es eso cierto? ¿Hay alguna buena referencia?

Answer 1

La bonita relación que esperas no es cierta, por desgracia. He aquí un contraejemplo: consideremos el haz vectorial trivial de rango 2 $E= \mathcal{O} \oplus \mathcal{O}$ en $\mathbb{CP}^{1}$ . Entonces $$\mathbb{P}(E) \cong \mathbb{CP}^{1} \times \mathbb{CP}^{1}.$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $c_{2}(E)=0$ desde $E$ es un haz trivial, pero $\int_{\mathbb{P}(E)} c_{2}(T\mathbb{P}(E)) = 4$ ya que es igual a la característica topológica de Euler de $\mathbb{P}(E)$ (es un resultado estándar que la integral de la clase de Chern superior de una variedad compleja es igual a la característica topológica de Euler).

En general, no creo que haya una buena relación (aunque puedo estar equivocado) ya que cuando $E$ tiene diferentes números de Chern, el tipo topológico de $\mathbb{P}(E)$ serán diferentes en general, por lo que ni siquiera estamos hablando de clases de Chern en la misma variedad compleja. Sin embargo, se pueden calcular algunas invariantes topológicas de $\mathbb{P}(E)$ de las clases de Chern de $E$ : véase la Proposición 15 de "Cubic forms and complex 3-folds" de Okonek y Van de Ven.