Encontrar todas las matrices que conmutan con una matriz dada

Question

Me pregunto cómo encontrar todas las matrices $B$ que satisfacen $AB=BA$ , donde

$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{} \\ 1&1&{}&{}&{} \\ 1&1&1&{}&{} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &{} \\ 1&1&1&1&1 \end{array}} \right)$

(los coeficientes por encima de la diagonal de la matriz $A$ son cero). He probado la forma Jordan de $A$ ...pero todavía no podía ver qué hacer a continuación...

Cualquier ayuda será apreciada :)

Answer 1

Tenga en cuenta que $A - I$ es nilpotente con rango $n-1$ . Como tal, $A$ es no despectivo (en particular, $A$ es similar al bloque de Jordan de tamaño $n$ con valor propio $1$ ). De ello se desprende que $B$ se desplaza con $A$ si y sólo si $B = p(A)$ para algún polinomio $p$ (véase la obra de Horn y Johnson Análisis de la matriz para una referencia sobre esto).

El resultado final es que $B$ se desplazará con $A$ si y sólo si $B$ es triangular inferior y Toeplitz .