Teoría de conjuntos $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

Question

Estoy totalmente confundido sobre cómo resolver este problema. He encontrado un lema que dice $|A\cup B|=|A|+|B|$ es verdadera si los dos conjuntos son disjuntos, lo cual tiene sentido, pero ¿cómo demuestro la afirmación completa?

Answer 1

Si los conjuntos no son disjuntos, en el lado derecho $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert$ En la fórmula, los elementos de $A\cap B$ se cuentan dos veces.

Answer 2

Escribe las uniones disjuntas y utiliza tu resultado original. Es decir:

$$\begin{cases}A\cup B=A\setminus B\cup B\setminus A \cup A\cap B \\ A = A\setminus B \cup A\cap B\\ B=B\setminus A\cup A\cap B\end{cases}.$$

Como sabes que todas son disjuntas, puedes usar el resultado original para escribir tu prueba como

$$|A\cup B|=|A\setminus B|+|B\setminus A|+|A\cap B|=(|A\setminus B|+|A\cap B|)+(|B\setminus A|+|A\cap B|)-|A\cap B|.$$

Answer 3

$|A|+|B|$ contiene dos veces los elementos que están contenidos en ambos conjuntos. Por lo tanto, si se quiere calcular el número real de elementos de $A\cup B$ , $|A\cup B|$ entonces hay que restar el número de elementos que se tienen en cuenta dos veces, es decir, hay que restar $|A\cap B|$ formulario $|A|+|B|$ . Como resultado

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$$

Answer 4

Supongamos que $x\in A\cup B$ entonces en la mano izquierda lo has considerado 1 vez. lo que un combate en la mano derecha 2 evento puede suceder, si $x\notin A\cap B$ entonces en la mano derecha lo cuentas una vez, sólo en A o B, pero si $x\in A\cap B$ entonces $\color{red}{1=1+1-1}$

Answer 5

Considere la función $f:A\cup B\to A\sqcup \{0\}$ y $g:A\cup B\to B\sqcup\{0\}$ dado por $f(x)=x$ si $x\in A$ y $f(x)=0$ en otro caso; $g(y)=y$ si $y\in B$ y $g(0)=0$ en otro caso.

Estas funciones son suryentes. Entonces, $|A\cup B|\leq |A|$ y $|A\cup B|\leq |B|$ y por lo tanto $|A\cup B|\leq |A|+|B|$ .

Desde $A$ y $B$ puede incluirse en $A\cup B$ mediante inclusiones con imágenes disjuntas (ya que $A$ y $B$ son disjuntos) también se tiene que $|A|+|B|\leq |A\cup B|$ .