Comparando fórmulas de probabilidad y dimensión, ¿concidencia?

Question

Entonces sabemos que si dados dos espacios vectoriales finitos $V,W$ entonces el $\dim(V+ W)=\dim(V)+\dim(W)-\dim(V\cap W)$ Esto se corresponde curiosamente con la fórmula de Probabilidad de, dadas dos probabilidades $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

La pregunta, ¿es una mera coincidencia o hay algo más profundo? Las probabilidades son siempre números entre 0 y 1, la dimensión de un espacio vectorial es, supongo, siempre un número natural. Entonces, ¿ocurre algo especial?

Answer 1

ADVERTENCIA: Esto no funciona para sumas de más de dos subespacios.

$$ \dim(U+V+W) $$ puede diferir de $$ \dim U+\dim V+\dim W-\dim(U\cap V)-\dim(U\cap W)-\dim(V\cap W)+\dim(U\cap V\cap W). $$ Por ejemplo, no funciona si $U,V,W$ son subespacios unidimensionales distintos de un espacio bidimensional.

Answer 2

Esto es una consecuencia de la aditividad propiedad, tanto de la dimensión de un subespacio como de la probabilidad, como comentó Gerry, ambos son una especie de medidas .

Si $U,V$ son subespacios "disjuntos" (es decir $U\cap V=\{0\}$ ), entonces $\dim(U+V)=\dim U+\dim V$ .

Si $A,B$ son "eventos" disjuntos (subconjuntos del espacio de probabilidad), entonces $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ .

Esta es la regla básica para el área/volumen, y cualquier medida. También hay Medidas valoradas por la proyección que puede utilizarse para algún tipo de probabilidad utilizando (proyecciones a) subespacios de un espacio de Hilbert

Answer 3

Supongo que está buscando el Principio de inclusión-exclusión .