Cuándo es el mapeo $g$ a $g^{-1}$ un homomorfismo de grupo?

Question

Cuándo es el mapeo $g$ a $g^{-1}$ ¿un homomorfismo de grupo? Sólo significa que el mapa mapea la identidad a la identidad y los inversos a los inversos. ¿Significa eso que sólo es un homomorfismo si el inverso es él mismo?

Answer 1

Bueno $\varphi(ab) = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ y $\varphi(a)\varphi(b) = a^{-1}b^{-1}$ . ¿Cuándo son iguales para cualquier $a$ y $b$ ?

Answer 2

En primer lugar, observe que para cualquier grupo $G$ el mapa $\phi$ definido por $\phi(g) = g^{-1}$ es una suryección inyectiva: inyectiva porque $\phi(a) = \phi(b)$ implica $a^{-1} = b^{-1}$ Por lo tanto $a = b$ ; una suryección ya que $\phi(a^{-1}) = (a^{-1})^{-1} = a$ . Además $\phi(ab) = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = \phi(b) \phi(a)$ .

Si $G$ es abeliano, entonces $\phi(b) \phi(a) = \phi(a)\phi(b)$ para que $\phi(ab) = \phi(b) \phi(a) = \phi(a)\phi(b)$ y $\phi$ es un isomorfismo. Del mismo modo, si $\phi$ es un isomorfismo, entonces $\phi(ab) = \phi(b) \phi(a) = \phi(ba)$ por lo que la inyectividad de $\phi$ fuerzas $ab = ba$ : $\phi$ es un isomorfismo si y sólo si $G$ es abeliano. QED.

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!