Dimensión homológica de un anillo graduado que es como un anillo polinómico

Question

Dejemos que $k$ sea un campo de característica $0$ . Considere lo siguiente $k$ -Álgebra $R$ que es el cociente de un álgebra tensorial generado por los elementos $x_i$ en grado $1$ con la relación $x_ix_j=-x_jx_i$ cuando $i\neq j$ .

En otras palabras, $x_i^2$ no desaparece. ¿Ha estudiado alguien este anillo graduado? ¿Tiene este anillo graduado dimensión homológica finita? ¿Existe una demostración del teorema de la sicigia de Hilbert que se pueda aplicar a este anillo?

Answer 1

No sé la respuesta a su primera pregunta. En cuanto a las dos siguientes, la respuesta es positiva; sólo hay que modificar ligeramente las pruebas estándar para el anillo polinómico:

Si $R$ es un anillo graduado, entonces definimos el anillo polinómico retorcido $R[x]_t$ como el anillo graduado generado por $R$ y $x$ con $\deg x=1$ y las relaciones $rx=(-1)^{|r|}xr$ donde $r$ es homogénea de grado $|r|$ . Su anillo es entonces $k[x_1]_t[x_2]_t\ldots$ (supongo que se refería a tener un campo como anillo base) y en general un elemento de $R[x]_t$ puede escribirse de forma única en la forma $\sum_nr_nx^n$ . Ahora podemos demostrar que $R[x]_t$ es (izquierda) noetheriano si $R$ es. Dejemos que $I\subseteq R[x]_t$ sea un ideal y que $I'\subseteq R$ sea el ideal de términos superiores de $I$ . Selección de generadores para $I'$ y la representación de polinomios para da un número finito de elementos de $I$ tal que cualquier elemento de $I$ puede ser reducirse a un polinomio de grado fijo.

En cuanto a la dimensión global finita por resultados generales basta con demostrar que $k$ tiene una resolución finita. De nuevo podemos utilizar la inducción y suponer que $k$ tiene una resolución finita como $R$ -y entonces basta con demostrar que $R$ tiene una resolución finita como $R[x]_t$ -módulo. Esto se hace considerando $R[x]_te \to R[x]_t$ con $e$ asignada a $x$ . Si se lleva a cabo la inducción se obtiene una resolución explícita que es una versión con signo de la resolución de Koszul: En grado homológico $k$ tiene un $R[x]_t$ -base $e _{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k}$ donde $1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k\leq n$ con $d(e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k})=\sum_r x_{i_r}e_{i_1}\cdots \widehat{e_{i_r}}\cdots e_{i_k}$ (¡Mira Ma no hay señales!).

Answer 2

Este álgebra $R$ es un álgebra cuadrática de Koszul (de hecho, se ve fácilmente que es PBW, es decir, que tiene una base cuadrática de Groebner), a partir de la cual se puede construir inmediatamente una resolución bimodular; los generadores bimodulares de esa resolución provienen del álgebra dual de Koszul $R^!$ que es de dimensión finita ( $2^n$ ), por lo que la resolución es de longitud finita, y $R$ tiene dimensión homológica finita.

Answer 3

Su anillo es lo que se llama un anillo polinómico cuántico en $q=-1$ y son objetos bastante bien estudiados. En particular, Wambst construyó resoluciones bimodulares explícitas para ellos, obtenidas modificando "adecuadamente" el complejo de Koszul habitual. La resolución así obtenida es de longitud finita, y como corolario inmediato de ello resulta que el álgebra es de dimensión global (izquierda y derecha) finita.

Puedo darte una referencia precisa cuando llegue a un lugar con acceso a MathSciNet.

Answer 4

Hola, si tienes n variables $x_i$ entonces la dimensión global es n sobre cualquier campo (ya que el campo terreno K tiene una resolución libre graduada de longitud exactamente n). La dimensión de Gelfand-Kirillov es entonces $n$ + GKdim(F) donde F es su campo (nótese que GKdim(F) = tr.deg F). Esta álgebra puede llamarse álgebra anticonmutativa o, en un contexto más amplio álgebra conmutativa graduada . También es un álgebra G, tiene base Poincare-Birkhoff-Witt, es dominio noetheriano, etc. Se pueden encontrar pruebas breves de las dimensiones en mi tesis doctoral (2005), disponible en la red (por ejemplo, hay un enlace en mi página web). Allí encontrarás la respuesta a tu tercera pregunta: sí, demuestro la dimensión global mediante un teorema de Hilbert generalizado (que se aplica a álgebras mucho más generales que ésta). Además, sospecho que la dimensión de Krull (generalizada) de este anillo también es n. Los cálculos con módulos sobre esta álgebra son constructivos con, por ejemplo, SINGULAR (www.singular.uni-kl.de), disponible gratuitamente.