Mostrar que el operador lineal es cerrado

Question

Dejemos que $p \in [1, \infty)$ y definir el operador $T$ , que mapea un $L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu,\mathbb{R})$ -en su producto con la función $\mathbb{R}$ -cuadrado de identidad, es decir $$T: D(T) \rightarrow L^p, \quad (Tf)(x):= x^2 f(x), \quad f \in D(T), x \in \mathbb{R},$$ donde $D(T) := \{f\in L^p \mid [x \mapsto x^2f(x)] \in L^p\}.$

Mi idea es tomar una secuencia convergente arbitraria en el gráfico de $T$ y mostrar que su límite está en la gráfica. En símbolos, sea $(f_n)_n \subset D(T)$ tal que $f_n \rightarrow f$ casi en todas partes con $f \in L^p$ y $Tf_n= x^2f_n(x) \rightarrow g$ en casi todas partes con $g \in L^p$ . Mi objetivo es mostrar $f\in D(T)$ y $Tf = g$ .

Soy nuevo en la teoría del operador y no sé cómo enfocar ninguna de las dos afirmaciones expuestas. Básicamente, tengo afirmaciones que son válidas en casi todas partes, pero los espacios en cuestión son $L^p$ . ¿Cómo pueden expresarse las reivindicaciones de forma que se relacionen con el $p$ -¿normas? No he probado mucho, ya que no estoy seguro de lo que hay que mostrar exactamente. Se agradecen todos los consejos o sugerencias.

Answer 1

Se comienza con $L^p$ -convergencia, no convergencia puntual en casi todas partes.

Se toma una secuencia $(f_n)$ en $D(T)$ tal que [para ciertos $f,g \in L^p$ ] tiene un) $\lVert f_n - f\rVert_{L^p} \to 0$ y b) $\lVert T(f_n) - g\rVert_{L^p} \to 0$ . Usted quiere concluir $f \in D(T)$ y $g = T(f)$ .

Ahora se toma una subsecuencia tal que $f_n \to f$ casi en todas partes. De ello se desprende que $T(f_n)$ converge en casi todas partes a $x \mapsto x^2f(x)$ . Ya que por suposición $T(f_n) \to g$ en $L^p$ se deduce que $g(x) = x^2 f(x)$ casi en todas partes. Esto demuestra que $f \in D(T)$ y $g = T(f)$ y la prueba de que $T$ está cerrado está completo.