Supongamos que $\{X_i,i\ge 1\}$ es una secuencia de variables aleatorias i.i.d. de distribución exponencial con media 1. Sea $M_n=max_{i=1,\cdots,n}X_i$ y $Z_n=M_n-\ln n$ . No es difícil ver $Z_n$ converge a $Z_\infty$ en la distribución, donde $P(Z_\infty\le x)=e^{-e^{-x}}$ . Y tenemos que demostrar si $Z_n$ converge a algún v.r. límite con casi total seguridad.
Mi idea es la siguiente: como la distribución de $Z_\infty$ es continua, entonces supongamos que $Z_n$ converge a alguna v.r. a.s., entonces la v.r. limitante debe ser $Z_\infty$ . Quiero mostrar realmente $Z_n$ no converge a $Z_\infty$ en la probabilidad, entonces obtendremos la contradicción.
A continuación, elija fijo $x,\epsilon>0$ , $P(|Z_n-Z_\infty|>\epsilon)\ge P(Z_\infty>x+\epsilon,Z_n\le x)$ . Pero no sabemos $Z_\infty$ es independiente de $Z_n$ . Entonces, ¿hay alguna otra idea para probarlo?