¿La máxima sobre n distribución exponencial i.i.d. r.v.s. menos ln n cubre casi con seguridad?

Question

Supongamos que $\{X_i,i\ge 1\}$ es una secuencia de variables aleatorias i.i.d. de distribución exponencial con media 1. Sea $M_n=max_{i=1,\cdots,n}X_i$ y $Z_n=M_n-\ln n$ . No es difícil ver $Z_n$ converge a $Z_\infty$ en la distribución, donde $P(Z_\infty\le x)=e^{-e^{-x}}$ . Y tenemos que demostrar si $Z_n$ converge a algún v.r. límite con casi total seguridad.

Mi idea es la siguiente: como la distribución de $Z_\infty$ es continua, entonces supongamos que $Z_n$ converge a alguna v.r. a.s., entonces la v.r. limitante debe ser $Z_\infty$ . Quiero mostrar realmente $Z_n$ no converge a $Z_\infty$ en la probabilidad, entonces obtendremos la contradicción.
A continuación, elija fijo $x,\epsilon>0$ , $P(|Z_n-Z_\infty|>\epsilon)\ge P(Z_\infty>x+\epsilon,Z_n\le x)$ . Pero no sabemos $Z_\infty$ es independiente de $Z_n$ . Entonces, ¿hay alguna otra idea para probarlo?

Answer 1

Dejemos que $\epsilon>0$ ser cualquier cosa. Considere $Z_{2n}-Z_n = -\ln(2) + M_{2n}-M_n$ y mira $$P(|Z_{2n}-Z_n|> \epsilon)$$

Tenemos $|Z_{2n}-Z_n| > \epsilon$ en el caso de que $M_{2n}-M_n > \ln(2) + \epsilon$ así que $$P(|Z_{2n}-Z_n|> \epsilon) \ge P(M_{2n}-M_{n}> \ln(2)+\epsilon).$$

Dejemos que $$M_{2n,n} \equiv \max\{X_{n+1},\ldots,X_{2n}\}.$$ La única manera de tener $M_{2n} -M_n >0$ es si $M_{2n,n}=M_{2n},$ así que $M_{2n}-M_n > \ln(2) + \epsilon$ si y sólo si $M_{2n,n} - M_n > \ln(n)+\epsilon.$ Esto significa que $$P(M_{2n}-M_{n}> \ln(2)+\epsilon) = P(M_{2n,n}-M_{n}> \ln(2)+\epsilon).$$

Si definimos entonces $Z_{2n,n} \equiv M_{2n,n}-\ln(n)$ y recordar $Z_n=M_n-\ln(n),$ podemos escribir $$P(|Z_{2n}-Z_n|> \epsilon) \ge P(M_{2n,n}-M_n>\ln(2)+\epsilon) = P(Z_{2n,n} - Z_n > \ln(2) + \epsilon).$$ Pero ahora fíjate que $Z_{2n,n}$ y $Z_n$ son independientes por construcción y en el límite de grandes $n$ son distribuidos por Gumbel, como has demostrado. Así que tenemos $$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|Z_{2n}-Z_n|> \epsilon) \ge P(A_1-A_2>\ln(2) + \epsilon)$$ donde $A_1$ y $A_2$ son Gumbels independientes, y está bastante claro que $P(A_1-A_2>\ln(2) + \epsilon)>0$ ya que es una distribución continua con soporte en todos los reales.

Esto demuestra que $Z_n$ no es Cauchy en probabilidad y por tanto no converge en probabilidad.