Probar la continuidad en un punto $x_0$ .

Question

Dejemos que $F: D\rightarrow\mathbb{R}$ y un punto $x_0\in\mathbb{R}$ . Definir $A=\{x\in D| x\geq x_0\}$ y $B=\{x\in D| x\leq x_0\}$ . Demostrar que $F: D\rightarrow\mathbb{R}$ es continua en $x_0$ si $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $F: B\rightarrow\mathbb{R}$ es continua en $x_0$ . Necesito ayuda con la dirección hacia atrás.

$(<=)$

Supongamos que $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $F: B\rightarrow\mathbb{R}$ son continuas en $x_0$ . Vemos que $A\cup B=D$ . Sea $x_n$ sea una secuencia en $A\cup B$ tal que $x_n\rightarrow x_0$ . Entonces se deduce de la suposición que $f(x_n)\rightarrow f(x_0)$ . Por lo tanto, $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ es continua en $x_0$ . ¿Es esto todo lo que necesito?

Nueva prueba: Supongamos que $f: A\rightarrow\mathbb{R}$ es continua en $x_0$ . De ello se desprende que si $\epsilon>0$ entonces existe un $\delta_1>0$ donde $\delta_1=\epsilon$ y $|x-x_0|<\delta_1$ entonces $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ . Supongamos ahora que $f: B\rightarrow\mathbb{R}$ también es continua en $x_0$ . De ello se desprende que si $\epsilon>0$ entonces existe un $\delta_2=\epsilon$ y $|x-x_0|<\delta_2$ entonces $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ . Por lo tanto, si dejamos que $\delta=min(\delta_1,\delta_2)$ y $|x-x_0|<\delta$ entonces $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ .

Answer 1

Fíjate en eso, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ es continua en $x_0$ , lo que significa que es continuo desde la derecha, es decir

$$ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0), $$

y de manera similar, $f:B\rightarrow\mathbb{R}$ es continua en $x_0$ , lo que significa que es continuo desde la izquierda

$$ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0). $$

¿Puede concluir?

Answer 2

En tu primer intento sólo estás reformulando la afirmación y lanzando un "ya vemos". También podrías "ver" que la afirmación original es cierta.

Tu segundo intento es bueno. Yo también encuentro el $\epsilon$ - $\delta$ -criterio más fácil de trabajar que las secuencias para este problema. Un problema menor es que debe arreglar un $\epsilon$ primero, y luego considerar las dos restricciones de $f$ para asegurarse de que se entiende que se está hablando de lo mismo $\epsilon$ en todas partes. El problema no menor es que a partir de $\delta_1=\epsilon$ tu frase se extravía. ¿Qué quiere decir exactamente?