Medidas: Continuidad secuencial

Question

Descargo de responsabilidad: Este hilo está pensado como registro y escrito en estilo de preguntas y respuestas.

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Dejemos que $\Omega$ sea un espacio de medidas.

Es bien sabido que una medida es continua tanto por abajo como por arriba: $$E_n\uparrow E\implies\mu(E_n)\uparrow\mu(E)$$ $$E_n\downarrow E\implies\mu(E_n)\downarrow\mu(E)\quad(\mu(E_n)<\infty)$$ Por otro lado, esto falla en general si se sustituyen las secuencias por redes: $$E_M\uparrow[0,1],\lambda(E_M)\equiv 0\quad(E_{M\subseteq[0,1]:\lambda(M)=0}:=M)$$ $$E_N\downarrow\varnothing,\lambda(E_N)\equiv 1\quad(E_{N\subseteq[0,1]:\lambda(N)=1}:=N)$$ con el ordenamiento dado por la inclusión o la contención.

¿Qué pasa con la continuidad secuencial? $$E_n\to E\implies \mu(E_n)\to\mu(E)$$

Aquí se entiende la convergencia de conjuntos como: $$A_\lambda\to A:\iff\forall\omega\in\Omega\exists \lambda_\omega\in\Lambda\forall\lambda\geq\lambda_\omega:\omega\in A_\lambda\text{ if }\omega\in A\text{ and }\omega\notin A_\lambda\text{ if }\omega\notin A$$

Answer 1

Lo que usted pide/escribe no es 100% correcto.

En primer lugar, observe que

$$ E_n \downarrow E \,\,\Rightarrow \,\, \mu(E_n) \downarrow \mu(E) $$

hace no en general. Para ver esto, considere $E_n = [n,\infty)$ con $\mu = $ Medida de Lebesgue en $\Bbb{R}$ .

La condición adicional que se necesita aquí es que $\mu(E_n) < \infty$ para algunos $n \in \Bbb{N}$ . (Para ello, por supuesto, basta con tener $\mu(X) <\infty$ , donde $X$ es el espacio "circundante".

Ahora bien, tenga en cuenta que su definición de $A_\lambda \to A$ equivale a

$$ \chi_{A_\lambda} \to \chi_{A} \text{ pointwise}. $$

Por lo tanto, la pregunta que usted hace equivale a

$$ \text{Does }\,\, \int \chi_{A_n} \,d\mu \to \int \chi_A \,d \mu \,\,\text{ if }\,\, \chi_{A_n} \to \chi_A \,\,\text{ pointwise?} $$

Esto se cumple por convergencia dominada siempre que $\mu(\bigcup_{n=k}^\infty A_n) <\infty$ para algunos $k \in \Bbb{N}$ pero falla en general (como ya has observado).

Answer 2

La continuidad secuencial tampoco se sostiene en general: $$E_n\to\varnothing,\# E_n\nrightarrow\#\varnothing\quad(E_n:=\{\frac{1}{n}\})$$