Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie compleja semisimple y sea $\mathfrak{h}$ sea una subálgebra de Cartan de $\mathfrak{g}$ . Fijar una subálgebra de Borel $\mathfrak{b}$ que contiene $\mathfrak{h}$ y fijar una subálgebra parabólica $\mathfrak{p}$ que contiene $\mathfrak{b}$ . Sea $I \subseteq\Delta$ sea el subconjunto de raíces simples correspondiente a $\mathfrak{p}$ . Denote por $\Phi_I$ el subsistema generado por $I$ es decir, $\Phi_I=\Phi\cap\sum_{\alpha\in I}\mathbb{Z}\alpha$ . Sea $\Phi^+_I=\Phi_I\cap\Phi^+$ .
Dejemos que $\mathfrak{l} = \mathfrak{h}\oplus\sum_{\alpha\in \Phi_I}\mathfrak{g}_\alpha$ sea la subálgebra de Levi. Denotemos por $\mathfrak{u}$ el radical nilpotente de $\mathfrak{p}$ y que $\overline{\mathfrak{u}}$ sea el espacio dual de $\mathfrak{u}$ . Tenga en cuenta que $\mathfrak{p}=\mathfrak{l}\oplus \mathfrak{u}$ .
La categoría $\mathcal{O}$ es la categoría de todas las categorías generadas finitamente, localmente $\mathfrak{b}$ -finito y $\mathfrak{h}$ -semisimple $\mathfrak{g}$ -módulos, donde $\mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie compleja semisimple con subálgebra de Cartan $\mathfrak{h}$ y la subálgebra de Borel $\mathfrak{b}$ que contiene $\mathfrak{h}$ .
La categoría $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$ es la subcategoría completa de $U(\mathfrak{g})$ -Mod tal que cada objeto $M$ en la categoría $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$ cumple las siguientes condiciones.
- $M$ es una entidad finitamente generada $U(\mathfrak{g})$ -módulo.
- $M$ es una suma directa de simples de dimensión finita $U(\mathfrak{l})$ -módulos.
- $M$ es localmente finito como $U(\mathfrak{p})$ -módulo.
El módulo de Verma es de la forma forma $M(\lambda) = U(\mathfrak{g})\otimes_{U(\mathfrak{b})} \mathbb{C}_\lambda$ , donde $\mathbb{C}_\lambda$ es un simple $\mathfrak{b}$ -módulo con peso $\lambda$ . Denote por $L(\lambda)$ el único cociente simple de $M(\lambda)$ .
El módulo parabólico de Verma se define como $M_I(\lambda) = U(\mathfrak{g})\otimes_{U(\mathfrak{p})} F(\lambda)$ , donde $F(\lambda)$ es la simple dimensión finita $\mathfrak{l}$ -módulo de mayor peso $\lambda$ .
El conjunto de $\Phi^+_I$ -pesos integrales dominantes en $\mathfrak{h}^*$ se define como $\Lambda^+_I = \{\lambda \in \mathfrak{h}^* : \langle\lambda,\alpha^\lor\rangle \in \mathbb{Z}^{\ge 0} \ \text{for all }\alpha \in \Phi^+_I\}$ .
Por la Proposición 9.3 y el Teorema 9.4 en Representaciones de álgebras de Lie semisimples en la categoría BGG $\mathcal{O}$ obtenemos $L(\lambda)\in\mathcal{O}^\mathfrak{p}\iff \lambda\in\Lambda_I^+$ . También $\lambda\in \Lambda_I^+ \implies M_I(\lambda)\in \mathcal{O}^\mathfrak{p}$ .
¿Qué pasa con $M(\lambda)$ ? ¿Tiene $\lambda\in \Lambda_I^+$ implica $M(\lambda)\in \mathcal{O}^\mathfrak{p}$ ? Si no es así, ¿algún contraejemplo?
