Expansión de Maclaurin de $\arcsin x$

Question

Estoy tratando de encontrar los primeros cinco términos de la expansión de Maclaurin de $\arcsin x$, posiblemente usando el hecho de que

$$\arcsin x = \int_0^x \frac{dt}{(1-t^2)^{1/2}}.$$

Solo puedo ver que puedo intercambiar diferenciación e integración, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¡Gracias!

Answer 1

Indirecta: Utilice las siguientes series binomiales $$ (1+z)^\alpha=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)}{k!} z^k $$ con $z=-t^2$, $\alpha=-1/2$. Luego integre.

Answer 2

Cambiar variables $t = x u$: $$ \arcsin(x) = \int0^1 \frac{ x}{(1- x^2 u^2)^{1/2}} \mathrm{d} u $$ Ahora usando la expansión de la serie Taylor del integrando: $$ \frac{ x}{(1- x^2 u^2)^{1/2}} = \sum{n=0}^\infty \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n} x^{2n+1} u^{2n} $$ Integración en términos: $$ \arcsin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1 }{2^{2n}}\binom{2n}{n} \frac{ x^{2n+1}}{2n+1} $$

Answer 3

Considerando la expansión binomial <span class="math-container">\begin{align} \frac 1{\sqrt{1-u}}&=1+\frac12 u+\frac12\cdot\frac32\frac{u^2}{2!}+\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\frac{u^3}{3!}++\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\frac 72\frac{u^4}{4!}+\dotsm \ &=1+\frac12 u+\frac{1\cdot3}{2^2\,2!}u^2 +\frac{1\cdot3\cdot 5}{2^3\,3!}u^3 + +\frac{1\cdot3\cdot 5\cdot 7}{2^4\,4!}u^4\dotsm , \end{align}</span> y sustituyendo <span class="math-container">$u=x^2$</span>, luego integrando término por término, se obtiene <span class="math-container">\begin{align} \arcsin x&= x+ \frac12 \frac{x^3}3+\frac{1\cdot3}{2^2\,2!}\frac{x^5}5 +\frac{1\cdot3\cdot 5}{2^3\,3!}\frac{x^7}7 + +\frac{1\cdot3\cdot 5\cdot 7}{2^4\,4!}\frac{x^9}9+\dotsm \[1ex] &=x+ \frac12 \frac{x^3}3+\frac{1\cdot3}{2\cdot 4}\frac{x^5}5 +\frac{1\cdot3\cdot 5}{2\cdot4\cdot 6}\frac{x^7}7 +\frac{1\cdot3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}\frac{x^9}9+\dotsm \[1ex] &=\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}. \end{align}</span>