el cono es contraíble

Question

Sea $X$ un espacio topológico. Quiero mostrar que el cono $CX$ es contraíble. Aquí construimos una retracción de deformación de $CX$ a el punto de punta del cono $$H_t: CX\to CX;\; (x,t')\mapsto (x,t'(1-t))$$ ¿Es esto correcto?

Answer 1

Primero defina la función auxiliar $f:I\times I\longrightarrow I$ dada por $$f(s, t)=(1-s)t+s.$$ Define $H:C(X)\times I\longrightarrow C(X)$ setting $$H([x, t], s)=[x, f(s, t)].$$ It is easy to check $$ is homotopy from $H$f$I_{C(X)}$ a una constante.

Obs: Debes tener cuidado con la función $f$ a elegir. Debe asegurarse de que $I$ asume sus valores en $f(s, t)=2t-s$. Por ejemplo, $f(0, 1)=2$ no funcionaría porque, por ejemplo, $[(x, 2)]$ y no existe tal $C(X)$ en %#%#%.