Probabilidad, condicionada a un evento de probabilidad cero

Question

¿Existe una forma de resolver la probabilidad de un evento, dado otro evento que nunca ocurre? Matemáticamente hablando el problema es:

Dado que $P(B) = 0$ ,

$$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{0}$$

¿Es esta probabilidad vacía $0$ de $1$ ? ¿Podemos demostrar que es una cosa o la otra?

Answer 1

El comentario de Dilip Sarwate señala condicionando el nivel de densidades que puede interpretarse como un condicionamiento a un familia de eventos de probabilidad cero. Es una versión probabilística de Derivado de Radon-Nikodym .

También se puede condicionar a un evento individual de probabilidad cero, si ese evento admite una aproximación natural por eventos de probabilidad positiva. Por ejemplo, se parte de una medida de probabilidad $\nu$ en el espacio $C[0,1]$ de funciones continuas tales que $\nu(\{f(0)=0\})=0$ . Restringirlo al conjunto de funciones $f$ tal que $|f(0)| \le \epsilon$ . Normalizar esta restricción a una medida de probabilidad. Si estas restricciones normalizadas convergen (en algún sentido) a una medida de probabilidad $\mu$ sur $C[0,1]$ podemos considerar $\mu$ como distribución condicional en el evento de probabilidad cero $f(0)=0$ .

Answer 2

La definición de probabilidad condicional $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ significa que no podemos condicionar un evento con probabilidad cero; si $P(B)=0$ entonces $P(A|B)$ es indefinido para cualquier evento $A$ .

A veces tiene sentido definir la probabilidad condicional de otra manera. Sea $X$ y $Y$ sean conjuntamente variables aleatorias continuas; entonces podemos definir la PDF condicional de $X$ dado $Y$ $$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$$ para todos $y$ tal que $f_Y(y)>0$ y utilizando esta definición podemos definir $$P(X\in A|Y=y)=\int_Af_{X|Y}(x|y)dx$$ lo que implica condicionar al evento de probabilidad cero $\{Y=y\}$ .

La respuesta a la pregunta general del PO es: si $P(B)=0$ las probabilidades condicionales dado el evento $B$ son indefinidos, a menos que se utilice una definición diferente de probabilidad condicional.

Answer 3

Este argumento sólo se aplica a la probabilidad de eventos y no a la probabilidad con variables aleatorias.

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En primer lugar la definición, $$P(A|B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ sólo se aplica cuando $P(B) \neq 0$ .

¿Qué pasa cuando $P(B)=0$ ?

Bueno, $P(A|B)$ es la probabilidad de $A$ que ocurre dado que $B$ sucedido es ridículo incluso preguntar. ¿Cómo se puede dar por sucedido un hecho que no puede suceder? Así que, en mi opinión, seguirá siendo indeterminado.

Sin embargo, algunos textos, sí que dan que $P(A|B)=0$ y algunos otros asignan $1$ o al menos eso es lo que nos ha dicho mi profesor, que ha visto un libro que hace esto último (asensio $1$ ).

Pero, simplemente no importa.