¿Existe una función $f$ de $R^2$ a $R$ y constante $c_0>0$ tal que para todo $x,y\in R^2$ , $|f(x)-f(y)| \ge c_0|x-y|^2$ ?

Question

Sé que la función debe ser inyectiva como para $x \not= y$ , $c_0|x-y|^2>0$ . Por lo tanto, la función no puede ser continua. Tengo la sensación de que no existe tal función, pero no estoy seguro de cómo justificar esto.

Answer 1

En esta respuesta se demuestra que el Curva de llenado del espacio de Hilbert es continua de Hölder con exponente $\frac{1}{2}$ . Aunque la curva original es un mapeo $[0,1]\to[0,1]^2$ es fácil extender esta función a una suryección $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ que también es continua de Hölder: existe $C > 0$ tal que

$$\| g(t) - g(s) \| \leq C |t - s|^{1/2}.$$

Desde $g$ es una función suryectiva, podemos encontrar una función inyectiva $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $g\circ f = \operatorname{id}_{\mathbb{R}^2}$ . Entonces esta función satisface

$$\forall x, y \in \mathbb{R}^2 \ : \quad \| x - y \|^2 \leq C^2 |f(x) - f(y)|.$$

Por tanto, la condición se cumple con $c_0 = C^{-2} > 0$ .