$\frac{3}{abc} \ge a + b + c$ , demuestre que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge a + b + c$

Question

Dejemos que $a$ , $b$ y $c$ sean números positivos tales que $\frac{3}{abc} \ge a + b + c$ . Demuestra que: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge a + b + c.$$

De cualquier manera que use - me quedo atascado después de 2 o 3 pasos...

Answer 1

$$\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\ge 3\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\ge abc(a+b+c)\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=(a+b+c)^2$$

Answer 2

La condición da $$1\geq\sqrt{\frac{(a+b+c)abc}{3}}.$$ Así, $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\sqrt{\frac{(a+b+c)abc}{3}}=$$ $$=\sqrt{\frac{(ab+ac+bc)^2(a+b+c)}{3abc}}\geq\sqrt{\frac{3abc(a+b+c)(a+b+c)}{3abc}}=a+b+c.$$