Prueba: $U$ es un ultrafiltro de un álgebra booleana $B$ si y sólo si para todo $x$ en $U$ exactamente uno de $x$ , $x^*$ pertenece a $U$ .

Question

Llevo un tiempo con este problema. Tengo una prueba que permite $U$ sea un ultrafiltro, exactamente uno de $x,x^*$ pertenece a $U$ para todos $x$ en $B$ Lo hice mostrando que ambos pertenecen a $U$ implica que $U=B$ lo que no puede ser el caso, y si no es largo para $U$ entonces se puede derivar una contradicción por las leyes de-Morgan. Sin embargo, estoy atascado con la implicación inversa, necesito demostrarlo:

"Si $U$ es un subconjunto de un álgebra booleana $B$ tal que $\forall x \in B$ exactamente uno de $x \in U$ y $x^* \in U$ es cierto, U es un ultrafiltro".

¿Es este el caso? Cualquier ayuda será muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Una afirmación correcta sería

Si $U\subseteq B$ es un filtro y para todos $x\in B$ exactamente uno de $x\in U$ o $x^*\in U$ es verdadera, entonces $U$ es un ultrafiltro.

Lo contrario también es válido, y esto se toma a veces como la definición de un ultrafiltro. Supongo que la que te han dado es que un ultrafiltro es un filtro máximo (propio).

Para ver que la afirmación es válida, observe primero que el hecho de que ambos $x$ y $x^*$ no están en $U$ implica $U$ es un filtro adecuado. Supongamos que $F$ es un filtro que extiende $U$ y que $x\in F\setminus U.$ Entonces $x^*\in U,$ así que $x^*\in F$ y como ambos $x$ y $x^*$ están en $F,$ $F$ es impropio.

Sin la disposición que $U$ es un filtro, la afirmación se convierte en algo muy falso. Basta con elegir al azar elementos de un álgebra booleana, etiquetar al azar con cero o uno (indicadores de si el elemento está dentro o fuera $U$ ), y asignar al complemento la etiqueta opuesta. Lo más probable es que des con un contraejemplo. (Para garantizar que lo haces, asegúrate de que empiezas etiquetando el $0$ con un uno y el elemento $1$ elemento con un cero).