Si $0^{\sharp}$ existe, entonces todo cardinal incontable en $V$ es tan grande como puede ser en $L$ .

Question

Según Wikipedia, si $0^{\sharp}$ existe, entonces todo cardinal incontable en $V$ satisface todas las propiedades cardinales grandes en $L$ que se puede realizar en $L$ Por ejemplo, compacidad débil, inefabilidad total, etc. Es bastante fácil ver por qué cada incontable en $V$ será inaccesible, o incluso Mahlo, en $L$ .

Cómo se puede ver que algunas de las propiedades de los cardinales grandes un poco más grandes (por ejemplo, compacidad débil, inefabilidad total, etc.) se satisfacen en $L$ por los incontables cardenales en $V$ ? ¿Existe una buena referencia para algunos de estos resultados?

Answer 1

Si $0^\sharp$ existe, entonces todo cardinal incontable $\kappa$ de $V$ es uno de los indiscernibles de Plata en $L$ , y esto implica que $L_\kappa$ es una subestructura elemental de $L$ . Esto implica que $\kappa$ es un cardinal límite en $L$ y por lo tanto, ya que algunos de los indiscernibles son regulares, que $\kappa$ es inaccesible en $L$ . Todo mapa preservador del orden en los indiscernibles induce una incrustación elemental $j:L\to L$ , y por lo tanto todo indiscernible es el punto crítico de tal a $j$ . De esto se deduce que cada uno de estos $\kappa$ tiene la propiedad del árbol en $L$ porque si $T$ es cualquier $\kappa$ -árbol en $L$ entonces $j(T)$ tiene nodos en el $\kappa$ -nivel, lo que le da un $\kappa$ -subir a $T$ . Pero ser inaccesible y tener la propiedad del árbol es es equivalente a ser débilmente compacto, por lo que cada $\kappa$ es débilmente compacto en $L$ . Puedes conseguir otras propiedades discutiendo con la incrustación así.