Dimensión del espacio vectorial, ¿contable, incontable?

Question

En la teoría de conjuntos, cuando hablamos de la cardinalidad de un conjunto tenemos las nociones de conjunto finito, contable e incontablemente infinito.

Pregunta principal

Hablemos de la dimensión de un espacio vectorial. En álgebra lineal he oído que los espacios vectoriales son de dimensión finita (por ejemplo $\mathbb{R}^n$ ) o de dimensión infinita (por ejemplo $C[0,1]$ ).

¿Por qué no tenemos nociones de de dimensión contablemente infinita y de dimensión incontablemente infinita ¿espacios vectoriales?

Tal vez, me estoy perdiendo el panorama general.

Extras

P.D. Hace mucho tiempo, asistí a una charla sobre geometría algebraica enumerativa y el profesor dijo: "Siempre pienso en un número natural positivo como la dimensión de algún espacio vectorial".

¿Puede extenderse esta idea a los espacios vectoriales de dimensión incontablemente infinita considerando que los números transfinitos denotan la dimensión de algún espacio vectorial?

Answer 1

Tenemos las nociones de dimensiones contables e incontables. Al igual que un conjunto puede ser finito o infinito (sin especificar qué cardinalidad infinita tiene el conjunto), un espacio vectorial puede tener una dimensión finita o infinita. Entonces podemos dar un paso más y preguntar, si la dimensión es infinita, ¿qué cardinalidad infinita es?

La definición de dimensión de un espacio vectorial es la cardinalidad de una base para ese espacio vectorial (no importa qué base se tome, porque todas tienen la misma cardinalidad). Entonces para cualquier número cardinal $\gamma$ se puede tener un espacio vectorial con esa dimensión. Por ejemplo, si $\Gamma$ es un conjunto con cardinalidad $\gamma$ , dejemos que $c_{00}(\Gamma)$ sea el espacio de todos los $\mathbb{F}$ -funciones valoradas $f$ tal que $$\text{supp}(f)=\{x\in \Gamma: f(x)\neq 0\}$$ es finito. Entonces dejemos que $\delta_x\in c_{00}(\Gamma)$ sea la función tal que $\delta_x(y)=0$ si $y\neq x$ y $\delta_x(y)=1$ si $y=x$ . Entonces $(\delta_x)_{x\in \Gamma}$ es una base para $c_{00}(\Gamma)$ con cardinalidad $\gamma$ . Si $\Gamma=\mathbb{N}$ tenemos un espacio vectorial de dimensión contablemente infinita. Si $\Gamma=\mathbb{R}$ tenemos un espacio vectorial con dimensión igual a la cardinalidad del continuo.

Sin embargo, para los espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita (y para los espacios de Hilbert y Banach de dimensión infinita, en particular) la noción habitual de base es de uso limitado. Esto se debe a que las funciones de coordenadas para una base infinita no interactúan muy bien con la topología (se puede demostrar que si $(e_i, e^*_i)_{i\in I}$ es una base junto con sus funcionales de coordenadas para un espacio de Banach de dimensión infinita, entonces sólo un número finito de las funcionales $e^*_i$ puede ser continua). Dado que la noción de base no es tan útil en el caso del espacio topológico de dimensión infinita como en el caso de dimensión finita, se puede ver menos énfasis en cuál es la dimensión exacta en este caso.

Sin embargo, en esta situación se entra en discusiones sobre otros tipos de sistemas de coordenadas (como las bases de Schauder, las FDD, las bases incondicionales, etc.), que son diferentes de la noción de base (algebraica). También se puede preguntar por carácter de densidad en lugar de la dimensión, que es la menor cardinalidad de un subconjunto denso. Esto codifica información topológica, mientras que la noción puramente algebraica de una base no lo hace. Por ejemplo, el espacio de Hilbert de dimensión infinita $\ell_2$ no tiene una base contable, pero sí tiene un subconjunto denso contable. Así que la dimensión es la del continuo, pero el carácter de densidad es $\aleph_0$ .

Answer 2

El dimensión de un espacio vectorial es la cardinalidad de una base de ese espacio vectorial. Decir que un espacio vectorial tiene dimensión finita significa, por tanto, que la cardinalidad de una base de ese espacio vectorial es finita. Dado que las cardinalidades finitas son lo mismo que los números naturales, podemos decir con seguridad, para los espacios vectoriales de dimensión finita, que la dimensión es un número natural.

En general, algunos conjuntos son contablemente infinitos y otros son incontablemente infinitos. Así que, aplicando esto a los conjuntos que resultan ser bases de espacios vectoriales, algunos espacios vectoriales tienen bases contablemente infinitas y, por tanto, dimensión contablemente infinita, y otros espacios vectoriales tienen bases incontablemente infinitas y, por tanto, dimensión incontablemente infinita.

Un ejemplo de espacio vectorial sobre $\mathbb R$ de dimensión contablemente infinita es $\mathbb R^{\infty}$ que es el espacio de secuencias infinitas de números reales tales que todos los términos de la secuencia, excepto los finitos, son iguales a $0$ . Una base contablemente infinita consiste en $(1,0,0,0,...)$ , $(0,1,0,0,...)$ , $(0,0,1,0,...)$ y así sucesivamente.

Un ejemplo de espacio vectorial sobre $\mathbb R$ de dimensión incontablemente infinita es la que mencionas en tu pregunta, $C[0,1]$ .

Answer 3

Por poner un ejemplo del mundo real: El electrón de un átomo de hidrógeno puede adoptar un número contable de estados. Cada estado es un vector base para el conjunto de posibles estados del electrón del hidrógeno. Hay estados ligados y los estados ligados son típicamente discretos. La ecuación de Schrodinger pertinente también permite estados de dispersión que tienen un espectro continuo de posibles estados de energía, lo que implica un espacio vectorial incontable que abarca los posibles estados de dispersión.

Answer 4

El siguiente teorema es un ejemplo en el que tenemos que distinguir entre espacios vectoriales de dimensión contablemente/no contablemente infinita. De él se pueden deducir algunos teoremas importantes, como el Nullstallensatz de Hilbert.

Dejemos que $A$ ser un asociativo, no necesariamente conmutativo, $\mathbb{C}-$ álgebra con unidad. Para $a \in A$ definir $$\text{Spec } a = \{\lambda \in \mathbb{C} | a-\lambda \text{ is not invertible}\}$$ Supongamos que $A$ no tiene más que una dimensión contable sobre $\mathbb{C}$ . Entonces

(a) Si $A$ es un álgebra de división, entonces $A=\mathbb{C}$

(b) Para todos los $a \in A$ tenemos $\text{Spec } A \neq \emptyset$ ; además, $a \in A$ es nilpotente si y sólo si $\text{Spec } A = \{0\}$

(Adaptado de Teoría de la representación y geometría compleja por Chriss y Ginzburg, teorema 2.1.1.)

La prueba utiliza el hecho de que para cualquier $a \in A$ , $$\{(a - \lambda)^{-1} | \lambda \in \mathbb{C}\}$$ es una familia incontable de elementos de $A$ . Pero $A$ sólo tiene dimensión contable sobre $\mathbb{C}$ por lo que no son linealmente indenpendientes sobre $\mathbb{C}$ .

Una versión débil de Hilbert Nullstellensatz:

Dejemos que $A$ sea un álgebra conmutativa de generación finita sobre $\mathbb{C}$ . Entonces cualquier ideal maximal de $A$ es el núcleo de un homomorfismo de álgebra $A \to \mathbb{C}$

Esto se deduce directamente del teorema anterior: $A$ generado finitamente $\Longrightarrow$ $A$ tiene dimensión contable sobre $\mathbb{C}$ $\Longrightarrow$ $A/\mathfrak{m}$ tiene dimensión contable sobre $\mathbb{C}$ $\Longrightarrow$ $A/\mathfrak{m}=\mathbb{C}$

(También podemos deducir la versión fuerte de la Nullstellensatz a partir de ella, pero necesitamos más argumentos).