Un dominio integral $A$ es exactamente la intersección de las localizaciones de $A$ en cada ideal máximo

Question

Este resultado parece ser omnipresente como ejercicio de álgebra. ¿Cómo se demuestra este resultado?

Sea $A$ sea un dominio integral con campo de fracciones $K$ y que $A_{\mathfrak{m}}$ denotan la localización de $A$ en un ideal máximo $\mathfrak{m}$ considerado como un subring de $K$ . Demostrar que $$A = \bigcap_{\mathfrak{m}} A_{\mathfrak{m}}\,,$$ donde la intersección se toma sobre todos los ideales maximales $\mathfrak{m}$ de $A$ .

Answer 1

O, lo que es lo mismo, supongamos $z$ no está en $A$ . Considere también el ideal $I=A:z=\{x\in A: xz \in A\}$ . Entonces $I$ es un ideal propio ya que $1\not\in I$ . Entonces existe un ideal maximal $\mathfrak{m}$ que contiene $I$ . El elemento $z$ no debe estar en $A_{\mathfrak{m}}$ de lo contrario, existe algún $s\not\in \mathfrak{m}$ tal que $sz \in A$ Por lo tanto $s\in I$ lo que contradice la elección del ideal máximo $\mathfrak{m}$ .

Answer 2

Desde $A$ es un dominio, el mapa de localización $A \to A_{\mathfrak m}$ es inyectiva para todo ideal maximal $\mathfrak m$ Así que $A \subseteq \cap_{\mathfrak m \in \text{mSpec} A} A_{\mathfrak m}$ . La otra inclusión es más interesante: supongamos $z \in K$ con $z \in A_{\mathfrak m}$ para todo ideal maximal $\mathfrak m$ . Considere la $A$ -ideal $I := A :_A Az = \{x \in A \mid xz \in A\}$ . Queremos $1 \in I$ es decir $I = A$ . Pero para demostrarlo podemos localizar: $I_{\mathfrak m} = (A :_A Az)_{\mathfrak m} = A_{\mathfrak m} :_{A_{\mathfrak m}} A_{\mathfrak m}z = A_{\mathfrak m}$ (ya que $Az$ es una $A$ -para cada ideal maximal ${\mathfrak m}$ Así que $I = A$ .

Answer 3

Podemos pensar en $\bigcap_{m}A_m$ como $A$ -módulo. Es evidente que $A\subset \bigcap_{m}A_m$ es un $A$ -submódulo de $\bigcap_{m}A_m$ . Nuestro objetivo es demostrar que la $A$ -módulo $M=\frac{(\bigcap_mA_m)}{A}$ es cero. Esto establecería lo que queremos demostrar.

A partir de los principios de lo local a lo global, basta con demostrar que $M_n$ es cero para cada ideal maximal $n\subset A$ .

Así que, vamos a calcular, $$ M_n=\left(\frac{\bigcap_mA_m}{A}\right)_n=\frac{(\cap_mA_m)_n}{A_n}.$$

Nótese que la última igualdad se sigue del hecho de que la localización conmuta con los cocientes (lo cual es cierto ya que la localización es un functor exacto).

Ahora bien, está claro que $(\bigcap_mA_m)_n\subset\bigcap_m (A_m)_n$ Por lo tanto, $\frac{(\bigcap_mA_m)_n}{A_n}\subset \frac{\bigcap_m (A_m)_n}{A_n}= \frac{\bigcap_m (A_n)_m}{A_n}$ (hemos cambiado el orden de localización). Ahora, $\bigcap_m (A_n)_m\subset (A_n)_n=A_n$ y así $ \frac{\bigcap_m (A_n)_m}{A_n}\subset \frac{A_n}{A_n}=0$ .

Combinando toda esta contención, concluimos que $M_n\subset \frac{(\cap_mA_m)_n}{A_n} \subset \frac{A_n}{A_n}=0$ . Es decir, $M_n=0$ para todo ideal maximal $n$ por lo que es el cero $A$ -y así $A=\bigcap_m A_m$ .