Cómo probar que $\mathbb{Q}$ (los racionales) es un conjunto contable

Question

Quiero demostrar que $\mathbb{Q}$ es contable. Así que básicamente, pude encontrar una biyección de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{N}$. Pero también he demostrado recientemente que $\mathbb{Z}$ es contable, así que ¿es equivalente a encontrar una biyección de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{Z}$?

Answer 1

Indirecta: Hay un mapa natural $$\left{ \begin{array}{ccc} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{>0} & \to & \mathbb{Q} \ (a,b) & \mapsto & \frac{a}{b} \end{array} \right.$$

Answer 2

Leí esta prueba en Amer. Math. Monthly. Basta con descubrir una función inyectiva del conjunto de racionales positivos a enteros positivos. Considere la representación de números en la base 11, donde los 11 dígitos utilizados son <span class="math-container">$0,1,2,3, ..., 9, /$</span> (sí, es una barra diagonal como dígito para el número diez). Ahora el número racional <span class="math-container">$7/83$</span> representa el entero positivo base-11 de 4 dígitos: <span class="math-container">$(7\times 11^3) + (10\times 11^2) + (8\times 11) + 3$</span>.

Answer 3

Considere para $n=2,3,4,\ldots$ los conjuntos

$$A_n=\left{\frac pq :(p,q)=1,p,q>0,p+q=n\right}$$

Reclamación Cada $A_n$ es finito, y $\Bbb Q^+=A_2\cup A_3\cup A_4\cup\dots$