El teorema (de Rudin) dice:
Para un espacio de medidas $(X,\mathfrak M, \mu)$ , dejemos que $\mathfrak M^*$ sea la colección de todos los $E\subset X$ para los que existen conjuntos $A$ y $B\in\mathfrak M$ tal que $A\subset E\subset B$ y $\mu(B-A)=0$ y definir $\mu(E)=\mu(A)$ en esta situación. Entonces $\mathfrak M^*$ es un $\sigma$ -Álgebra.
(Aquí $X$ es el conjunto, $\mathfrak M$ es el $\sigma$ -y el álgebra, y $\mu$ es la medida)
La prueba dice:
Empezamos por comprobar que $\mu$ está bien definida para cada $E\in \mathfrak M^*$ . Supongamos que $A\subset E\subset B$ , $A_1\subset E\subset B_1$ y $\mu(B-A)=\mu(B_1-A_1)=0$ . Desde $$A-A_1\subset E-A_1\subset B-A_1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$ tenemos $\mu(A-A_1)=0$ Por lo tanto $\mu(A)=\mu(A\cap A_1)$ .
Mis preguntas son : ¿Qué significa bien definido en esta prueba? ¿Por qué es importante? Creo que no entiendo por qué la ecuación $(1)$ implica que $\mu(A-A_1)=0$ . Tampoco entiendo por qué $\mu(A-A_1)=0$ implica que $\mu(A)=\mu(A_1\cap A)$ .
