Dejemos que $\lambda:n = n_1 + \dots + n_k, \ \mu:m = m_1 + \dots + m_l$ sean particiones enteras de $n, m$ respectivamente. Ahora, definamos dos operaciones $\circ, \bullet$ de la siguiente manera: $\lambda \circ \mu: (n + m) = (n_1 + m_1) + (n_2 + m_2) + \dots \ $ y $\lambda \bullet \mu$ son las partes de $\lambda$ y $\mu$ juntos. Se me pide que demuestre que $$(\lambda \circ \mu)^* = \lambda^* \bullet \mu^*$$ donde $\gamma^*$ denota la partición conjugada de una partición $\gamma$ . No estoy totalmente seguro de cómo probar esto; pensé en usar $D(\lambda)$ El diagrama de una partición lambda, pero no he llegado a ninguna parte.
Respuesta
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jlleblanc
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Esto forma parte del ejercicio 2.9.17 (a) en Darij Grinberg y Victor Reiner, Álgebras de Hopf en combinatoria Versión del 19 de abril de 2020 (también disponible como arXiv:1409.8356v6 ). (Si la numeración de los ejercicios cambia, puedes encontrar este ejercicio buscando las palabras "definimos dos nuevas particiones". Una vez que lo hayas encontrado, podrás encontrar su solución utilizando el índice). Tenga en cuenta que su $\lambda \circ \mu$ se llama $\lambda + \mu$ en estas notas, y su $\lambda \bullet \mu$ se llama $\lambda \sqcup \mu$ , mientras que su $\lambda^*$ se llama $\lambda^t$ .
Sólo hay un truco para toda la prueba: Primero mostrar la identidad "dual" $\left(\lambda \bullet \mu\right)^\ast = \lambda^\ast \circ \mu^\ast$ (o, en mis anotaciones, $\left(\lambda \sqcup \mu\right)^t = \lambda^t + \mu^t$ ), lo que se deduce fácilmente de la definición de las particiones conjugadas ( $\left(\nu^t\right)_i = \left(\text{the number of } j \text{ such that } \nu_j \geq i \right)$ ). Ahora, aplíquelo a $\lambda^\ast$ y $\mu^\ast$ en lugar de $\lambda$ y $\mu$ y recordemos que la conjugación de particiones es una involución.
