Demostrar que un código es lineal

Question

Demuestre que el código de repetición de orden r (es decir, cada bit de la palabra original se envía r veces) es un código lineal. Determine una matriz generadora y una matriz de comprobación de este código.

Así que tenemos un $(r*k,k)$ código lineal. La matriz generadora es trivial. Por ejemplo:

$G_{k=2} = \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}$

Pero, ¿cómo puedo demostrar exactamente que este código es lineal? ¿Basta con decir que siempre existe una matriz generadora?

Answer 1

Es suficiente con encontrar una matriz generadora.

Un código lineal suele definirse como un subespacio de $F^n$ para algún campo $F$ (ya que se habla de bits, se puede tomar $F = \mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ ). El código $C$ generado por una matriz generadora $G$ es la extensión de las filas de $G$ . La extensión de un conjunto de vectores en $F^n$ es un subespacio de $F^n$ Así que $C$ es un código lineal.