Imposibilidad de parametrizar una curva no sinular mediante la arclitud

Question

¿Por qué no se puede parametrizar una curva no singular por su arclitud?

¿Es simplemente porque la siguiente arclitud no existe donde $\alpha '(t) =0$ ?

$$s(t) = \int_{t_0}^{t} |\alpha '(t)| dt$$ Gracias.

Answer 1

Si echas un vistazo a esto Correo electrónico: se puede ver que para conseguir $\lvert \beta'(t) \rvert =1$ es necesario dividir por $\alpha'(t)$ para cada $t\in I$ ...

Alternativamente, $\frac {dt}{ds}$ debe existir para cada $t$ en el dominio de la curva.