Conexión de ruta y camino conectado

Question

La Sección en la cobertura de los Mapas de John Lee el libro de "Introducción a la Suave Colectores" inicia de esta manera:

Supongamos $\tilde{X}$ $X$ son espacios topológicos. Un mapa de $\pi : \tilde{X} \to X$ se llama una cubierta mapa si $\tilde{X}$ es la ruta de acceso conectado y localmente ruta conectada, ... (etc).

Espero que esta pregunta no es demasiado tonto, pero ¿cómo puede un espacio de ruta de acceso conectado, pero no localmente ruta de acceso conectado ?

EDIT: soy consciente de espacios localmente trayectoria-conectado pero no de ruta de acceso conectado, pero no puedo venir para arriba con un espacio que es a la trayectoria - conectado pero no localmente ruta de acceso conectado.

Answer 1

Un contraejemplo es una variante de la famosa curva de seno del topólogo.

Considere la gráfica de $y = \sin(\pi/x)$ $0&ltx&lt1$, junto con un arco cerrado desde el punto de $(1,0)$ $(0,0)$:

Este espacio es trayectoria-conectado obviamente, pero no es localmente trayectoria-conectado (o incluso localmente conectado) en el punto $(0,0)$.

Answer 2

Debe tener en cuenta la pregunta opuesta, de que cómo un espacio puede ser localmente camino conectado, pero no camino conectado. Y esto debería ser simple: considerar la Unión de dos discos abiertos.

Answer 3

$\pi$-Base, una versión en línea de Steen y Seebach del Contraejemplos en la Topología, se enumeran los siguientes espacios como trayectoria-conectado, pero no localmente trayectoria-conectado. Usted puede ver el resultado de la búsqueda para obtener más información acerca de estos espacios.

Alexandroff Plaza

Extendido Topologist de la Curva Sinusoidal

El Cerrado Infinito Escoba

El Entero Escoba