Intercambio de límites y límites uniformes

Question

Análisis Vol II por Terence Tao

No tengo problemas para demostrar el teorema del límite uniforme utilizando la pista dada
$d_Y(f(x),f(x_0)) \le d_Y(f(x),f^{(n)}(x)) + d_Y(f^{(n)}(x),f^{(n)}(x_0)) + d_Y(f^{(n)}(x_0),f(x_0))$
Sin embargo, este ejercicio ha exigido bastante tiempo y una noche de insomnio, y me temo que la solución es descaradamente sencilla. En fin:

Proposición 14.3.3 (Intercambio de límites y límites uniformes). Sea $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ sean espacios métricos, con Y completo, y sea E un subconjunto de X. Sea $(f^{(n)})^\infty_{n=1}$ sea una secuencia de funciones de E a Y, y supongamos que esta secuencia converge uniformemente en E a alguna función $f:E \to Y$ . Sea $x_0 \in X$ sea un punto adherente de E, y supongamos que para cada n el límite $\lim_{x\to x_0; x \in E}f^{(n)}(x)$ existe. Entonces el límite $\lim_{x\to x_0; x \in E}f(x)$ también existe, y es igual al límite de la secuencia $(\lim_{x\to x_0; x \in E}f^{(n)}(x))^\infty_{n=1}$ En otras palabras, tenemos el intercambio de límites

$\lim_{n\to \infty}\lim_{x\to x_0; x\in E} f^{(n)}(x) = \lim_{x\to x_0; x\in E} \lim_{n\to \infty} f^{(n)}(x)$

Answer 1

Fui a ver a mi profesor.

$\{f^n\}$ converge uniformemente a $f$ y toda secuencia convergente es una secuencia de Cauchy, por tanto: $\forall\epsilon\gt0 \; \exists N\;\forall x \in E\;\; \forall j,k\ge N, d_Y(f^j(x),f^k(x)) \lt \epsilon /3$ .

Podemos definir $\forall n \lim_{x\to x_0;x\in E} f^n(x) := L_n$ y con esto:
$\forall \epsilon \gt 0 \;\forall j, k \ge N \; \exists \delta := \min(\delta_j,\delta_k) \gt 0$ tal que $\forall x\in E (d_X(x,x_0) \lt \delta \implies$ ambos $ d_Y(f^j(x),L_j),\; d_Y(f^k(x),L_k)\lt \epsilon /3$

$\forall \epsilon \;\exists N \;\forall j,k\ge N \quad d_Y(L_j,L_k)\le d_Y(L_j,f^j(x))+ d_Y(f^j(x),f^k(x))+d_Y(f^k(x),L_k) \lt \epsilon $ debido a la desigualdad del triángulo. Y esto hace que $\{L_n\}$ una secuencia de Cauchy en $Y$ . Estamos entonces capacitados para definir $\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0;x\in E}f^n(x)=\lim_{n\to\infty}L_n := L\quad$ Y ahora afirmo que
$\lim_{x\to x_0;x\in E}\lim_{n\to\infty}f^n(x) = \lim_{x\to x_0;x\in E}f(x) = L$ .

$\forall \epsilon \;\exists N :=\max(M,P)* \implies \exists \delta_N$ tal que $\forall x \in E \;(d_X(x,x_0)\lt \delta_N \implies d_Y(f(x),L)\le d_Y(f(x),f^N(x))+d_Y(f^N(x),L_N)+d_Y(L_N,L)\lt \epsilon$

*el M tal que $\forall m\ge M\; d_Y(f^m(x),f(x))\lt \epsilon/3$ y P tal que $\forall p\ge P \; d_Y(L^p,L)\lt \epsilon /3$