Estoy tratando de demostrar el homeomorfismo
$$\mathbb{R}^2 \backslash \{(0,0)\} \cong \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 = z^2, z>0\}$$
así que necesito encontrar una función continua biyectiva y su inversa que mapee el plano (menos el origen) en el cono positivo y viceversa.
Una posible función es
$$f(x,y) \rightarrow (x,y,\sqrt{x^2+y^2})$$
que tiene inversa
$$g(x,y,z) \rightarrow (x,y)$$
Así que ahora tengo que demostrar que $f$ y $g$ son continuas, biyectivas y abiertas. Puedo deducir lo siguiente intuitivamente, pero no estoy seguro de que sea lo suficientemente completo como para demostrar las condiciones.
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$f$ es continua ya que $x^2 + y^2 > 0$ para todos $x,y\in\mathbb{R}^2$ \ $\{(0,0)\}$ y $g$ es continua para todo $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3, z>0$ .
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$f$ es biyectiva ya que cada $(x,y)$ corresponde a un único $(x,y,\sqrt{x^2+y^2})$ y lo mismo se aplica claramente a $g$ .
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$f$ y $g$ son ambos abiertos ya que mapean conjuntos abiertos en conjuntos abiertos.
¿Sería esta una prueba adecuada?
