Orden matricial en las ecuaciones de Dirac

Question

La traza de la matriz es siempre la suma de sus valores propios, lo que puede verse si $\hat{U}$ transforma la matriz $\alpha_i$ en su forma diagonal. $$ \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_N \end{pmatrix}= \hat{U}\alpha_i\hat{U}^{-1} =tr\alpha_i\hat{U}\hat{U}^{-1} =tr\alpha_i $$ Por lo tanto, podemos decir que el orden de las matrices tiene que ser par.

También tenemos los siguientes requisitos de las ecuaciones de dirac

$$(\alpha_i \alpha_j+ \alpha_j \alpha_i)= 2\delta_{i\,j} I$$

$$\left\{ \alpha_i , \alpha_i \right\}= 2\delta_{i\,j} I$$

$$(\alpha_i \beta+ \beta \alpha_i) =0 $$

Ahora bien, ¿cómo podemos demostrar que $\alpha$ y $\beta$ son matrices de 4*4? Por favor, no te saltes mucho.

Answer 1

No puedes demostrarlo, porque no es cierto. Dadas cualesquiera matrices de 4 por 4 que satisfagan el álgebra de Dirac, puedes hacer matrices de 8 por 8 $\gamma_i$ que son iguales a las matrices de cuatro por cuatro en su diagonal superior, y también iguales a lo mismo en la diagonal inferior. El objetivo es buscar la representación de menor dimensión, las matrices más pequeñas posibles. En este estúpido truco, las 4 componentes superiores del espinor se transforman exactamente igual que las 4 componentes inferiores, lo que significa que puedes reducir la representación haciendo que las componentes superiores e inferiores sean iguales. Estás buscando una representación irreducible, lo que significa que no puedes hacer eso.

Para entender el tamaño de las matrices de Dirac de menor dimensión de representación, hay un buen truco descrito en un artículo de Scherk que hace esto para dimensiones arbitrarias. En la firma euclidiana, haga las dimensiones complejas a partir de pares de dimensiones reales

$$ z_1 = x_1 + i x_2 $$ $$ z_2 = x_3 + i x_4 $$

y luego combinar linealmente las matrices de Dirac como indica este cambio de coordenadas:

$$ \gamma'_1 = \gamma_1 + i \gamma_2 $$ $$ \gamma'_2 = \gamma_3 + i \gamma_4 $$

Entonces el $\gamma$ álgebra en términos de la nueva $\gamma'$ y sus conjugados se convierten en los operadores conmutativos de elevación y descenso fermiónicos. Estos tienen una representación mínima que comienza definiendo el estado $|0>$ que es aniquilado por todos los operadores de bajada, y luego actúan los operadores de subida como máximo una vez, para producir estados. Esto produce $2^n$ diferentes estados, donde n es la dimensión dividida por 2, y este es el punto de partida básico, ignorando tres molestas complicaciones.

Estos estados producidos al subir y bajar te dan la dimensión del espinor (ignorando las dos complicaciones) Este punto de partida te dice que el álgebra de Dirac debe ser representada por matrices de 4 por 4 en 4d, por matrices de 8 por 8 en 6d, por 16 por 16 en 8d, 32 por 32 en 10d. Dos a la potencia de la mitad de las dimensiones.

Las tres molestas complicaciones son: Las dimensiones Impares, los Fermiones de Weyl y los Fermiones de Majorana, cada una de las cuales es objeto de una discusión separada y no muy larga, pero se puede ver el tamaño de las matrices de Dirac a partir del argumento anterior, al menos de forma aproximada, y se pueden averiguar las formas útiles en 2d, 3d y 4d simplemente dando vueltas, como hicieron Pauli, Dirac, Weyl y Majorana. La generalización a dimensiones superiores para la teoría de cuerdas es el único momento en el que hay que ser sistemático al respecto, por lo que no se discute bien fuera de la literatura de la teoría de cuerdas.