Evaluar $$ \int _ {0} ^ {1} {\left ({x} ^ {5} + {x} ^ {4} + {x} ^ {2} \right) \sqrt {4 {x} ^ {3} + 5 {x} ^ {2} + 10} \; dx} $$
El aspecto de la pregunta como allí es un buen método para hacerlo, pero no puedo averiguar. Alguien puede proporcionar alguna pista o respuesta?.
Conjunto R = 4 x3 + 5 x2 + 10 para mayor brevedad. Tal vez basado en el teorema de Liouville, podemos adivinar $$\int \sqrt{R} \left( x^5 + x^4 + x^2 \right) = PR^{3/2} + c$$ donde P es un polinomio de x y c es la constante de integración. Diferenciar a ambos lados, obtenemos $$\sqrt{R} \left( x^5 + x^4 + x^2 \right) = P'R^{3/2} + PR' \sqrt{R}.$$
Racionalizar la fórmula $$\left( x^5 + x^4 + x^2 \right) = \left( 4x^3 + 5x^2 + 10 \right) P' + \left( 12x^2 + 10x \right) $ $$
P es cúbico, a fin de establecer P = un3x3 + un2x2 + un1x + un0 y resolver el sistema lineal. El sistema es overdeterined, pero por suerte todavía hay una solución $$P = \frac{x^3}{30}.$$
Como resultado, $$\int \sqrt{4x^3 + 5x^2 + 10} \left( x^5 + x^4 + x^2 \right) = \frac{x^3 \left( 4x^3 + 5x^2 + 10 \right)^{3/2}}{30} + c.$$
Por lo tanto $$\int_0^1 \sqrt{4x^3 + 5x^2 + 10} \left( x^5 + x^4 + x^2 \right) = \frac{19^{3/2}}{30}.$$
$\displaystyle{\large% \int_{0}^{1} \left(x^{5} + x^{4} + x^{2}\right)\, \sqrt {4x^{3} + 5x^2 + 10\;}\;{\rm d}x\quad:{\Enorme ?}}$
Seguir a @jdh8 ( $\color{#0000ff}{\mbox{Hay una falta}\; \color{#ff0000}{\large 3/2}\ \mbox{factor en su fórmula}}$ ).
$P \equiv a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}$
\begin{align} \left(x^{5} + x^{4} + x^{2}\right) &= \left(4x^{3} + 5x^{2} + 10 \right)P' + \left(18x^{2} + 15x\right)P \\[3mm] {x^{4} + x^{3} + x \over 18x + 15} &= {4x^{3} + 5x^{2} + 10 \over 18x^{2} + 15x}\;P' + P \end{align} Tomar el límite de $x \to 0$. Con el fin de guardar una divergencia llegaremos $a_{1} = 0$ y de ello se desprende que $a_{0} = 0$. Entonces $$ {x^{4} + x^{3} + x \a más de 18x + 15} = {4x^{3} + 5x^{2} + 10 \más de 18x + 15}\;\left(3a_{3} x + 2a_{2}\right) + \left[a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}\right] $$ Una vez más, tomar el límite de $x \to 0$ y obtenemos $a_{2} = 0$. La última expresión se reduce a $$ {x^{3} + x^{2} + 1 \sobre 18x + 15} = {4x^{3} + 5x^{2} + 10 \más de 18x + 15}\;\left(3a_{3}\right) + \left[a_{3}x^{2}\right] $$ Una vez más $$ x \to 0 \quad\Longrightarrow\quad {1 \over 15} = {10 \más de 15}\left(3a_{3}\right) \quad\Longrightarrow\quad a_{3} = {1 \over 30} \quad\Longrightarrow\quad \color{#ff0000}{\large P = {x^{3} \más de 30}} $$
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