ACTUALIZACIÓN: Las series han sido sustituidas por límites de sumas.
Interpretación geométrica . Por definición de una integral doble de una función continua sobre una región cerrada acotada $R$ de la $xy$ -plano, tenemos
$$\iint_R f(x,y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\lim_{n\to\infty}\; \sum_{i=1}^{n }f(x_{i},y_{i})\Delta A_{i},$$
donde $\Delta A_{i}$ es el área de un celda rectangular genérica y $n$ el número de células.
Si $f(x,y)=1$ obtenemos el área de $R$
$$ \iint_R \mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\lim_{n\to\infty}\; \sum_{i=1}^{n }\Delta A_{i}.$$
Si descomponemos $R$ en células con forma de sectores de un círculo definido por dos radios cuya diferencia es $\Delta r_{i}$ para el genérico $i^{th}$ célula y dos rayos que forman un ángulo $\Delta \theta _{i}$ entre sí, el área de la celda, utilizando la fórmula de un sector del círculo es
$$\frac{1}{2}\left[ \left( r_{i}+\frac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}-\left( r_{i}-\frac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}\right] \Delta \theta _{i}=r_{i}\Delta r_{i}\Delta \theta _{i}\text{,}$$
donde $r_{i}$ es el radio del punto medio de la célula. La misma área $R $ puede expresarse como el límite $\lim_{n\to\infty}\;\sum_{i=1}^{n }r_{i}\Delta r_{i}\Delta \theta _{i}$ que por definición de integral doble es igual a a $$\iint_R r\;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta. $$
Figura: Genérico $i^{th}$ -célula en coordenadas polares con la forma de un sector circular
Esta transformación se define rigurosamente por el valor absoluto del Jacobiano de la transformación $\left\vert \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert =r$ de la cartesiano al sistema de coordenadas polares ( $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta $ ):
$$\iint_R \mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\iint_R \left\vert \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert \;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta = \iint_R r\;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta.$$
Añadido : Evaluación del determinante jacobiano: $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \left( x,y\right) }{\partial \left( r,\theta \right) } &=&\det \begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial \theta \\ \partial y/\partial r & \partial y/\partial \theta \end{pmatrix} \\ &=&\det \begin{pmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{pmatrix} \\ &=&r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta \\ &=&r. \end{eqnarray*}$$
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Ver aquí Ejemplo 3, y también aquí .
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Si piensas en $x$ y $y$ siendo coordenadas cartesianas para el plano, entonces lo que hace es un cambio a coordenadas polares .
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Gracias. Me gustaría aceptar sus comentarios, volvió a las pistas correctas.
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Un físico notaría que esto es dimensionalmente correcto . Normalmente $dx, dy,r$ y $dr$ tienen dimensiones de longitud, mientras que $d \alpha$ es adimensional (es un ángulo). Así que $dxdy=r drd\alpha$ es dimensionalmente correcto: ambos lados de la ecuación son áreas. Por el contrario $dx dy=drd\alpha$ no es dimensionalmente correcto: tienes un área igual a una longitud. Esto es útil para detectar rápidamente los errores de cálculo.
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No hace falta ser físico para hablar de análisis dimensional. $\mathbb{R}^2$ se actúa sobre el escalamiento y esto se extiende a una acción sobre las formas diferenciales, etc. Y, por supuesto, si dos cosas son iguales, la acción de escalado correspondiente debe coincidir.
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@hhh: Ahora he visto que esta pregunta math.stackexchange.com/questions/25671/da-in-polar-coordinates es muy similar a la suya.
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$r$ es el "Jacobiano" ... cuando se aprende sobre la integración multidimensinoal, se debe aprender a cambiar las variables en ese contexto.