¿Pregunta sobre las declaraciones condicionales aplicadas a las matemáticas?

Question

Me estaba molestando el hecho de que $p \implies q$ se define cuando $p$ es falso, así que pensé en intentar un ejemplo en términos matemáticos para ayudarme a entenderlo; pero me quedé atascado:

Definamos

$p: x > 0$

$q:$ La ecuación $100 = \sqrt x$ tiene una solución en $\mathbb{R}$

Considere la afirmación

$$p \implies q$$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p\implies q\\ \hline T&T&T\\ T&F&F\\ F&T&T\\ F&F&T\\\hline \end{array}$$

Ahora $(p \implies q) = T$ tiene sentido cuando $p$ y $q$ son ambas verdaderas, y esto concuerda con la tabla de verdad. Pero si miramos la tercera fila de la tabla de verdad, se nos dice que $(p \implies q)$ debe ser verdadera incluso si $p=F$ y $q=T$ . Sin embargo, matemáticamente la afirmación

$$x \le 0 \implies \text{The equation $ 100 = \sqrt x $ has a solution in }\mathbb{R} $$

es por supuesto falso. ¿Cómo conciliamos esto? Mi única idea es que de alguna manera uno de $p, q$ no es una afirmación "real" o que no son independientes entre sí, pero según lo que he aprendido hasta ahora son válidos.

Answer 1

Pues bien, las dos afirmaciones p y q en tu caso no son independientes. Por tanto, afirmar una determina automáticamente el valor de verdad de la otra. En tu caso, decir que $x \leq 0$ ya predetermina el valor de verdad de la afirmación $q$ .

Answer 2

El valor de verdad de la afirmación $x\le0$ depende de $x$ y el valor de verdad de la afirmación $100 = \sqrt x$ también depende de $x$ . Estas afirmaciones serían independientes si su verdad no dependiera de un estado común, por ejemplo, si tuviera $y\le0 \implies 100 = \sqrt x$ .

Answer 3

La cuestión a la que te enfrentas es la "verdad vacía", pero también un malentendido de la sintaxis.

La tabla de verdad para $p \Rightarrow q$ tiene sentido intuitivamente, excepto en el caso de que $p$ es falso.

Piénsalo así... tienes que salir a buscar "cosas" y probar si $p$ es verdadero, y luego comprueba si $q$ es cierto. A continuación, se determinará si $p \Rightarrow q$ es cierto. Cuando $p$ es en realidad falsa, nunca encontrarás ninguna cosa en el mundo que te permita determinar que es verdadera, de ahí que el conjunto de cosas donde $p$ es cierto es vacío .

Por lo tanto, en lugar de eso, sales a buscar cosas donde $q$ es falsa, y he aquí que cada vez que encuentres eso, también encontrarás que $p$ es falsa, y por lo tanto se concluye que $\neg q \Rightarrow \neg p$ .

Además, como he señalado en mi comentario, has negado $p=\{x>0\}$ por lo que $\neg p =\{ x\leq 0\}$ . Esto último es una afirmación totalmente diferente. $\neg p$ no interviene en la determinación del valor de verdad de $p \Rightarrow q$ .

Answer 4

Está utilizando la variable $x$ en las dos declaraciones $p$ y $q$ . Estas dos afirmaciones son propiedades que $x$ puede satisfacer. Una mejor manera de escribirlos es como $P(x)$ y $Q(x)$ .

Así que dejemos $P(x)$ denotan la declaración " $x > 0$ " y dejar que $Q(x)$ denotan la declaración " $100=\sqrt{x}$ ".

Hay que ser riguroso y reescribir la implicación $p \implies q$ . ¿Quieres decir " $\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \implies Q(x)$ "? ¿O es " $\exists x \in \mathbb{R}$ tal que $P(x) \implies Q(x)$ "? La primera implicación es falsa y la segunda es verdadera. Para determinar si estas implicaciones son verdaderas o falsas, utilizamos la definición de tabla de verdad de una implicación.