Prueba $2\cos5B+2\cos4B+2\cos3B+2\cos2B+2\cos B+1=\frac{\sin(11B/2)}{{\sin(B/2)}}$

Question

Trabajando en un libro, me he topado con una pregunta que no sé cómo resolver:

Prueba $$2\cos(5B) + 2\cos(4B) + 2\cos(3B) + 2\cos(2B) + 2\cos(B) + 1 = \dfrac{\sin\left(\frac{11B}2\right)}{{\sin\left(\frac B2\right)}}$$

(este es un problema menor del que he reducido el problema mayor)

No sé cómo convertir simplemente las funciones coseno en funciones seno, ya que utilizando la identidad $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\dfrac{A+B}2\right)\cos\left(\dfrac{A-B}2\right)$ simplemente me da un resultado con más funciones coseno. No se me ocurren otras identidades que sean útiles.

Answer 1

Multiplica ambos lados por $$\sin (B/2)$$

entonces utilice la fórmula $$ 2\sin (a) \cos (b)= \sin(a+b) + \sin (a-b)$$

El resultado se telescopia y se obtiene la identidad requerida.

Answer 2

\begin{align} & 1 + 2\cos B + 2\cos(2B) + 2\cos(3B) + 2\cos(4B) + 2\cos(5B) \\[8pt] = {} & \cos(-5B) + \cos(-4B) + \cdots + \cos(0B) + \cdots + \cos(4B) + \cos(5B) \\ & \text{(since cosine is an even function)} \\[10pt] = {} & \operatorname{Re} \big( e^{-5iB} + e^{-4iB} + \cdots + e^{0iB} + \cdots + e^{4iB} + e^{5iB} \big) \\[8pt] = {} & e^{-5iB} + e^{-4iB} + \cdots + e^{0iB} + \cdots + e^{4iB} + e^{5iB} \\ & \text{(since the imaginary parts cancel out)} \\[10pt] = {} & \text{a finite geometric series} \\[8pt] = {} & \text{(first term)} \times \frac{1 - (\text{common ratio})^\text{number of terms}}{1 - (\text{common ratio})} \\[8pt] = {} & e^{-5iB} \cdot \frac{1 - e^{11iB}}{1 - e^{iB}} = \frac{e^{-5iB} - e^{6iB}}{1 - e^{iB}} \\[10pt] = {} & \frac{e^{-11iB/2} - e^{11iB/2}}{e^{-iB/2} - e^{iB/2}} \quad \left( \text{We multiplied by } \frac{e^{-iB/2}}{e^{-iB/2}}. \right) \\[10pt] = {} & \frac{\sin(11B/2)}{\sin(B/2)}. \end{align}